자연계열 2교시 4번

점 $\displaystyle \mathrm P_1$의 좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$이라고 하자. 접선 $\displaystyle l_1$의 방정식 $\displaystyle \frac{x_1x}6-\frac{y_1y}6=1$과 두 직선의 방정식 $\displaystyle y=-x$, $\displaystyle y=x$를 연립하여 계산한 두 점 A, B의 $\displaystyle x$좌표의 값에 $\displaystyle \sqrt2$를 곱해 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\frac{\sqrt2}{\frac{x_1}6+\frac{y_1}6}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=\frac{\sqrt2}{\frac{x_1}6-\frac{y_1}6}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAB}=\frac12\times\frac{\sqrt2}{\frac{x_1}6+\frac{y_1}6}\times\frac{\sqrt2}{\frac{x_1}6-\frac{y_1}6}=6$이다. 비슷한 방법으로 $\displaystyle \triangle\mathrm{OCD}=6$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=2t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}=3t$ $\displaystyle (t>0)$라 놓으면, $\displaystyle \triangle\mathrm{ODA}=3t^2$이고, $\displaystyle \triangle\mathrm{OAB}=\triangle\mathrm{OCD}=6$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=\frac6t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}=\frac4t$이다. 따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OBC}=\frac{12}{t^2}$이고, 사각형 ABCD의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면$\displaystyle S=\triangle\mathrm{ODA}+\triangle\mathrm{OAB}+\triangle\mathrm{OCD}+\triangle\mathrm{OBC}=3t^2+12+\frac{12}{t^2}$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}:\overline{\mathrm{OD}}=\overline{\mathrm{OC}}:\overline{\mathrm{OB}}$이므로 두 직각삼각형 ODA와 OBC는 닮은꼴이고 $\displaystyle \angle\mathrm{ODA}=\angle\mathrm{OBC}$이다. 따라서 두 선분 AD와 BC는 평행하고 두 삼각형 ADE와 BCE도 닮았다. 삼각형 ODA에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}^2=\overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OD}}^2=13t^2$이고 삼각형 OBC에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=\overline{\mathrm{OB}}^2+\overline{\mathrm{OC}}^2=\frac{52}{t^2}$이므로 두 삼각형 ADE와 BCE의 넓이의 비는 $\displaystyle t^2:\frac4{t^2}$이다.

$\displaystyle x=t^2$ $\displaystyle (x>0)$이라 놓으면, $\displaystyle \triangle\mathrm{BCE}=S+4=3x+16+\frac{12}x$이므로$\displaystyle x:\frac4x=\triangle\mathrm{ADE}:\triangle\mathrm{BCE}=4:3x+16+\frac{12}x$에서$\displaystyle 0=3x^3+16x^2+12x-16=(x+2)(x+4)(3x-2)$를 얻는다. $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle x=\frac23$이고 $\displaystyle S=3x+12+\frac{12}x=32$이다.

피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{BG}}=\overline{\mathrm{GD}}=\overline{\mathrm{DB}}=2\sqrt2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{MD}}=\sqrt5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MG}}=3$임을 알 수 있다. 이로부터 이등변삼각형 DMB와 정삼각형 BGD의 넓이는 각각 $\displaystyle \sqrt6$, $\displaystyle 2\sqrt3$임을 쉽게 알 수 있다. $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{MBG}$라 하면 삼각형 BMG에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{5+8-9}{2\times\sqrt5\times2\sqrt2}=\frac1{\sqrt{10}}$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac3{\sqrt{10}}$이다. 따라서 삼각형 BMG의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\frac12\times\sqrt5\times2\sqrt2\times\frac3{\sqrt{10}}=3$이다. 비슷한 방법으로 삼각형 DMG의 넓이도 3이다.

직선 AC와 직선 BD의 교점을 $\displaystyle \mathrm B^{\prime}$이라 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{MBB^{\prime}}$과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{MDB^{\prime}}$이 합동이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{MB^{\prime}}$과 선분 BD는 서로 수직이다. 그리고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{GBB^{\prime}}$과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{GDB^{\prime}}$이 합동이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{GB^{\prime}}$과 선분 BD는 서로 수직이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BB^{\prime}}}=\sqrt2$이므로 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{MBB^{\prime}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MB^{\prime}}}=\sqrt{\overline{\mathrm{MB}}^2-\overline{\mathrm{BB^{\prime}}}^2}=\sqrt3$이고 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{GBB^{\prime}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{GB^{\prime}}}=\sqrt{\overline{\mathrm{BG}}^2-\overline{\mathrm{BB^{\prime}}}^2}=\sqrt6$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MG}}^2=\overline{\mathrm{MB^{\prime}}}^2+\overline{\mathrm{GB^{\prime}}}^2$이고 $\displaystyle \angle\mathrm{MB^{\prime}G}=90^\circ$이다. 즉, 두 평면 DMB와 BGD는 수직으로 만난다. 두 평면 DMB와 BGD가 수직으로 만나므로 점 M에서 평면 BGD에 내린 수선의 발은 점 $\displaystyle \mathrm B^{\prime}$이다. 따라서 사면체 BDMG의 부피 $\displaystyle V$는$\displaystyle V=\frac13\times\triangle\mathrm{BGD}\times\overline{\mathrm{MB^{\prime}}}=\frac13\times2\sqrt3\times\sqrt3=2$

점 B에서 평면 DMG에 내린 수선의 발을 I라고 하면, $\displaystyle V=\frac13\times\triangle\mathrm{DMG}\times\overline{\mathrm{BI}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BI}}=2$이다. 점 B에서 직선 MD에 내린 수선의 발을 J라고 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{BJ}}=\frac{2\sqrt6}{\sqrt5}$임을 $\displaystyle \triangle\mathrm{DMB}=\frac12\times\overline{\mathrm{MD}}\times\overline{\mathrm{BJ}}$에서 알 수 있다. 삼수선의 정리에 의해 두 직선 MD와 IJ는 수직으로 만난다. 따라서 $\displaystyle \alpha=\angle\mathrm{BJI}$이고 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{\overline{\mathrm{BI}}}{\overline{\mathrm{BJ}}}=\frac{\sqrt{30}}6$이고 $\displaystyle SV\sin\alpha=\sqrt{30}$이다.