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경영경제계열 3번

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중앙대 2026학년도 수시 경영경제계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/gyeongyeong_3

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문제

다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오. (풀이 과정 포함)

• 제마을에 대한 애정이 커서 행사 참여도가 높은 고참여 주민 20명과 그렇지 않은 저참여 주민 10명이 살고 있는 어떤 마을에서, 주민들의 행사 참여도를 높이기 위해 ‘마을사랑 쿠폰’을 지급하려고 한다.

• 다음과 같은 두 가지 쿠폰 지급 정책이 제안되었다.- 정책 1: 고참여 주민에게는 각각 45\displaystyle \frac45의 확률로, 저참여 주민에게는 각각 25\displaystyle \frac25의 확률로 쿠폰 한 장을 지급한다. 각 주민에 대한 지급 여부는 서로 독립이다.- 정책 2: 먼저 고참여 주민 17명, 저참여 주민 6명을 임의로 선택해 쿠폰을 한 장씩 지급한다. 다음으로 쿠폰을 받지 못한 모든 주민 중 임의로 2명을 선택해 쿠폰을 한 장씩 지급한다.

• 각 정책에서 고참여 주민에게 지급한 쿠폰의 개수를 X\displaystyle X, 저참여 주민에게 지급한 쿠폰의 개수를 Y\displaystyle Y라고 할 때, 정책의 효능은 다음과 같이 정의된다.(효능)=E(X)−710V(X)+15E(Y)−a{E(X)+E(Y)}+10\displaystyle (\text{효능})=\mathrm E(X)-\frac7{10}\mathrm V(X)+\frac15\mathrm E(Y)-a\{\mathrm E(X)+\mathrm E(Y)\}+10

• 두 정책 중 효능이 더 높은 정책을 선택하며, 만약 효능이 같다면 ‘정책 1’을 선택한다.

[문제 3] ‘정책 1’이 ‘마을사랑 쿠폰’의 지급 정책으로 선택되기 위한 a\displaystyle a의 최솟값을 구하시오. [20점, 원고지 작성법을 준수할 필요 없음]

중앙대 2026학년도 수시 경영경제계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/gyeongyeong_3

(1) 정책의 효능을 구하기 위해, 각 정책에 대해 E(X)\displaystyle E(X), V(X)\displaystyle V(X), E(Y)\displaystyle E(Y)를 구해야 한다.

(2) 정책 1에서 X\displaystyle X는 B(20,45)\displaystyle B\left(20,\frac45\right)의 이항분포를 따른다. 따라서 E(X)=20×45=16\displaystyle E(X)=20\times\frac45=16이고 V(X)=20×45×15=165\displaystyle V(X)=20\times\frac45\times\frac15=\frac{16}5이다.

(3) 정책 1에서 Y\displaystyle Y는 B(10,25)\displaystyle B\left(10,\frac25\right)의 이항분포를 따른다. 따라서 E(Y)=10×25=4\displaystyle E(Y)=10\times\frac25=4이다.

+9점 · 정책 1의 효능을 정확히 구하면 - E(X)\displaystyle E(X), E(Y)\displaystyle E(Y)를 정확히 구하면 각 +3점 - V(X)\displaystyle V(X)를 정확히 구하면 +3점

(4) 따라서 정책 1의 정책 효능을 U1\displaystyle U_1이라 하면U1=16−710×165+15×4−a×20+10=26−3625−20a=61425−20a\displaystyle U_1=16-\frac7{10}\times\frac{16}5+\frac15\times4-a\times20+10=26-\frac{36}{25}-20a=\frac{614}{25}-20a이다.

(5) 정책 2에서 고참여 주민 중 나중에 쿠폰을 받은 사람의 수를 Z\displaystyle Z라 하면, Z\displaystyle Z의 확률분포는 다음과 같다.

+9점 · 정책 2의 효능을 정확히 구하면 - E(X)\displaystyle E(X), E(Y)\displaystyle E(Y)를 정확히 구하면 각 +3점 - V(X)\displaystyle V(X)를 정확히 구하면 +3점
Z\displaystyle Z012합계
P(Z=z)\displaystyle P(Z=z)4C27C2=27\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm C_2}{{}_{7}\mathrm C_2}=\frac273C1×4C17C2=47\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm C_1\times{}_{4}\mathrm C_1}{{}_{7}\mathrm C_2}=\frac473C27C2=17\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm C_2}{{}_{7}\mathrm C_2}=\frac171

(6) 위의 표를 통해 Z\displaystyle Z의 평균과 분산을 구하면 E(Z)=0×27+1×47+2×17=67\displaystyle E(Z)=0\times\frac27+1\times\frac47+2\times\frac17=\frac67이고, E(Z2)=02×27+12×47+22×17=87\displaystyle E(Z^2)=0^2\times\frac27+1^2\times\frac47+2^2\times\frac17=\frac87, 따라서 V(Z)=87−(67)2=2049\displaystyle V(Z)=\frac87-\left(\frac67\right)^2=\frac{20}{49}이다.

(7) X=17+Z\displaystyle X=17+Z이므로 E(X)=17+E(Z)=17+67\displaystyle E(X)=17+E(Z)=17+\frac67, V(X)=V(Z)=2049\displaystyle V(X)=V(Z)=\frac{20}{49}이다.

(8) 정책 2에서 저참여 주민 중 나중에 쿠폰을 받은 사람의 수를 W\displaystyle W라 하면, W=2−Z\displaystyle W=2-Z이므로 E(W)=2−E(Z)=87\displaystyle E(W)=2-E(Z)=\frac87이다. 따라서 E(Y)=6+E(W)=6+87\displaystyle E(Y)=6+E(W)=6+\frac87이다.

(9) 따라서 정책 2의 정책 효능을 U2\displaystyle U_2라 하면U2=17+67−710×2049+15×(6+87)−a×(17+67+6+87)+10=29−25a\displaystyle U_2=17+\frac67-\frac7{10}\times\frac{20}{49}+\frac15\times\left(6+\frac87\right)-a\times\left(17+\frac67+6+\frac87\right)+10=29-25a이다.

(10) 정책 1이 선택되기 위한 조건은 U1≥U2\displaystyle U_1\ge U_2이므로 다음과 같은 일차부등식으로 나타낼 수 있다.26−3625−20a≥29−25a\displaystyle 26-\frac{36}{25}-20a\ge29-25a

+2점 · 답을 정확히 계산하면

(11) 위의 일차부등식을 풀면 정책 1이 선택되기 위한 a\displaystyle a의 최솟값은 111125=0.888\displaystyle \frac{111}{125}=0.888이다.

Q. 이 효능식은 문제를 위해 만든 설정인가, 경제적 의미가 있는가?A. 기대 편익에서 불확실성과 비용에 대한 부담을 빼는 평가식으로 해석할 수 있다. 다만 각 항의 가중치는 문제에서 정한 값이며, 실제 주민 참여 효과를 측정해 얻은 공식이라는 근거가 제시된 것은 아니다. X\displaystyle X와 Y\displaystyle Y는 각각 고참여 주민과 저참여 주민에게 지급한 쿠폰 수이므로, 각 항의 역할을 다음과 같이 읽을 수 있다.

항평가식에서의 역할
E(X)\displaystyle E(X)고참여 주민에게 지급한 쿠폰 수의 기댓값을 편익에 반영한다.
15E(Y)\displaystyle \frac15 E(Y)저참여 주민에게 지급한 쿠폰 수의 기댓값에 가중치 15\displaystyle \frac15을 부여한다.
−710V(X)\displaystyle -\frac7{10}V(X)고참여 주민에게 지급되는 쿠폰 수의 변동성이 클수록 점수를 깎는다.
−aE(X+Y)\displaystyle -aE\left(X+Y\right)전체 쿠폰의 기대 지급량에 따른 부담을 반영한다.
+10\displaystyle +10두 정책에 똑같이 더하는 상수로, 정책 선택에는 영향을 주지 않는다.
E(X+Y)=E(X)+E(Y)\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)이므로 표의 비용항은 문제의 식과 같다. 여기서 a\displaystyle a를 쿠폰 한 장을 지급할 때의 부담을 평가점수로 환산하는 계수로 볼 수 있다. 또 V(X)\displaystyle V(X)는 같은 지급 정책을 반복할 때 고참여 집단에 지급되는 쿠폰 수가 얼마나 달라지는지를 나타낸다. 주민 사이의 공정성이나 실제 행사 참여도의 변동을 직접 재는 값은 아니다.이 해석으로 두 정책의 차이를 살펴보자. 풀이에서 구한 효능은 U1=61425−20a\displaystyle U_1=\frac{614}{25}-20a, U2=29−25a\displaystyle U_2=29-25a이므로U2−U1=11125−5a=4.44−5a\displaystyle U_2-U_1=\frac{111}{25}-5a=4.44-5a비용항을 제외한 평가점수는 정책 2가 4.44\displaystyle 4.44점 높다. 여기에는 기대 편익뿐 아니라 분산에 대한 감점도 반영되어 있다. 한편 전체 쿠폰의 기대 지급량은 정책 1이 20\displaystyle 20장, 정책 2가 25\displaystyle 25장이므로, 정책 2는 평균적으로 5\displaystyle 5장을 더 지급하며 이에 따른 부담은 5a\displaystyle 5a이다. 따라서 5a≥4.44\displaystyle 5a\ge4.44, 즉 a≥111125=0.888\displaystyle a\ge\frac{111}{125}=0.888이면 정책 1을 선택한다. 등호가 포함되는 것은 효능이 같을 때 정책 1을 선택한다는 조건 때문이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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