중앙대 2027학년도 모의 일반형 3-1번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

• $\displaystyle x$ 의 값의 범위가 $\displaystyle \alpha\le x\le\beta$ 일 때, 이차함수 $\displaystyle f(x)=a(x-p)^{2}+q$ 의 최댓값과 최솟값은 다음과 같음을 알 수 있다.(i) $\displaystyle \alpha\le p\le\beta$ 이면 $\displaystyle f(\alpha)$ , $\displaystyle f(p)$ , $\displaystyle f(\beta)$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고 가장 작은 값이 최솟값이다.(ii) $\displaystyle p<\alpha$ 또는 $\displaystyle p>\beta$ 이면 $\displaystyle f(\alpha)$ , $\displaystyle f(\beta)$ 중에서 큰 값이 최댓값이고 작은 값이 최솟값이다.• 로그함수 $\displaystyle y=\log_{a}x$ 는 $\displaystyle a>1$ 일 때, $\displaystyle x$ 의 값이 증가하면 $\displaystyle y$ 의 값도 증가한다.• 삼각함수 $\displaystyle y=\sin x$ 는 주기함수이고 주기는 $\displaystyle 2\pi$ 이다.

[문제 3-1] (15점) 양의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle k=2^{a}$ 이라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle f(x)=\left|(\log_{k}x+4)(\log_{k}x-8)\right|$ 이라 하고 $\displaystyle \frac{1}{4}\le x\le 16$ 일 때, $\displaystyle f(x)\ge 29$ 이 성립하도록 하는 $\displaystyle a$ 의 최솟값을 구하시오.

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[문제 3-1] 예시 답안

+5점 · 구간의 범위

\displaystyle -\frac{2}{a}\le t\le\frac{4}{a}

를 구하면

$\displaystyle 2^{a}=k$ 이므로, $\displaystyle \log_{k}x=\frac{\log_{2}x}{a}$ 이다. $\displaystyle \log_{k}x=t$ 라 하면, $\displaystyle -\frac{2}{a}\le t\le\frac{4}{a}$ 이다.

+5점 · 최솟값이

\displaystyle t=-\frac{2}{a}

에서 갖는 것을 얻으면

주어진 함수는 $\displaystyle g(t)=\left|(t+4)(t-8)\right|=\left|t^{2}-4t-32\right|$ 이다. 주어진 구간에서 $\displaystyle g(t)\ge 29$ 가 성립하기 위해서는 $\displaystyle \frac{4}{a}<8$ 이 성립하고(주어진 범위에서 $\displaystyle g(t)\neq 0$ ), 이로부터 $\displaystyle \frac{4}{a}-2<2+\frac{2}{a}$ 임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle g(t)$ 의 최솟값은 구간의 양 끝점 중 꼭짓점 $\displaystyle t=2$ 에서 거리가 먼 $\displaystyle t=-\frac{2}{a}$ 에서 갖게 됨을 알 수 있다.

+5점 · 부등식을 정리하여

\displaystyle a

의 최솟값

\displaystyle \frac{4+2\sqrt{7}}{3}

를 구하면

최솟값과 비교하여 $\displaystyle g\left(-\frac{2}{a}\right)=32-\frac{8}{a}-\frac{4}{a^{2}}\ge 29$ 가 성립하는 $\displaystyle a$ 를 찾는다. 정리하면 $\displaystyle 3a^{2}-8a-4=3\left(a-\frac{4-2\sqrt{7}}{3}\right)\left(a-\frac{4+2\sqrt{7}}{3}\right)\ge 0$ 이고, $\displaystyle a$ 는 양수이므로 $\displaystyle a\ge\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$ 이고 $\displaystyle a$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{4+2\sqrt{7}}{3}$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 $\displaystyle 1$ ~ $\displaystyle 2$ 점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 $\displaystyle -0.5$ ~ $\displaystyle +0.5$ 점 부여 가능함.

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일반형 3-1번

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