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일반형 2번

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중앙대 2027학년도 모의 일반형 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2027mo/ilban_2

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[문제 2] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

• 음함수 표현 f(x,y)=0\displaystyle f(x,y)=0에서 y\displaystyle y를 x\displaystyle x에 대한 함수로 보고 각 항을 x\displaystyle x에 대하여 미분하여 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}를 구한다.• 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가, a=g(α)\displaystyle a=g(\alpha), b=g(β)\displaystyle b=g(\beta)일 때 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.∫abf(x)dx=∫αβf(g(t))g′(t)dt\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g^{\prime}(t)dt

좌표평면 위의 두 점 A(−1,0)\displaystyle \mathrm{A}(-1,0), B(1,0)\displaystyle \mathrm{B}(1,0)에 대하여 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm{P}(x,y)가 음함수 표현 PA‾×PB‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}\times\overline{\mathrm{PB}}=1을 만족시킨다. (단, x>0\displaystyle x>0이고 y>0\displaystyle y>0이다.) 이를 바탕으로 [문제 2-1], [문제 2-2]를 풀이하시오.

[문제 2-1] (12점) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}를 구하고, (x,y)=(a,b)\displaystyle (x,y)=(a,b)에서 dydx=0\displaystyle \frac{dy}{dx}=0이 되게 하는 a\displaystyle a, b\displaystyle b를 구하시오.

[문제 2-2] (8점) 정적분 ∫a1xy2dx\displaystyle \int_{a}^{1} xy^{2}dx의 값을 구하시오. (단, a\displaystyle a는 [문제 2-1]에서 구한 값이다.)

해설강의 준비중

중앙대 2027학년도 모의 일반형 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2027mo/ilban_2

[문제 2-1] 예시 답안

+4점 · y2=4x2+1−x2−1\displaystyle y^{2}=\sqrt{4x^{2}+1}-x^{2}-1을 구하면

PA‾×PB‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}\times\overline{\mathrm{PB}}=1을 제곱하여 식으로 쓰면 ((x−1)2+y2)((x+1)2+y2)=1\displaystyle \left((x-1)^{2}+y^{2}\right)\left((x+1)^{2}+y^{2}\right)=1이다.y4+2(x2+1)y2+(x2−1)2−1=0\displaystyle y^{4}+2(x^{2}+1)y^{2}+(x^{2}-1)^{2}-1=0이고 (y2+x2+1)2=4x2+1\displaystyle \left(y^{2}+x^{2}+1\right)^{2}=4x^{2}+1로 쓸 수 있고 y2=4x2+1−x2−1\displaystyle y^{2}=\sqrt{4x^{2}+1}-x^{2}-1이다.

+4점 · dydx=1y(2x4x2+1−x)\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\left(\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+1}}-x\right)를 구하면

음함수 미분하면 dydx=1y(2x4x2+1−x)\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\left(\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+1}}-x\right)이다.

+4점 · a=32\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}, b=12\displaystyle b=\frac{1}{2}을 구하면

조건 dydx=0\displaystyle \frac{dy}{dx}=0에서 2a4a2+1−a=0\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{4a^{2}+1}}-a=0이고 b2=4a2+1−a2−1\displaystyle b^{2}=\sqrt{4a^{2}+1}-a^{2}-1이므로 계산하면 a=32\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}이고 b=12\displaystyle b=\frac{1}{2}이다.

[문제 2-2] 예시 답안

+2점 · ∫321xy2dx=∫321x(4x2+1−x2−1)dx\displaystyle \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} xy^{2}dx=\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x\left(\sqrt{4x^{2}+1}-x^{2}-1\right)dx를 구하면

∫321xy2dx=∫321x(4x2+1−x2−1)dx\displaystyle \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} xy^{2}dx=\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x\left(\sqrt{4x^{2}+1}-x^{2}-1\right)dx이다.

+4점 · ∫321x4x2+1 dx=∫4518t dt=112(55−8)\displaystyle \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x\sqrt{4x^{2}+1}\,dx=\int_{4}^{5}\frac{1}{8}\sqrt{t}\,dt=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-8)을 구하면

4x2+1=t\displaystyle 4x^{2}+1=t로 치환하면 ∫321x4x2+1 dx=∫4518t dt=112(55−8)\displaystyle \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x\sqrt{4x^{2}+1}\,dx=\int_{4}^{5}\frac{1}{8}\sqrt{t}\,dt=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-8)이고

+2점 · −∫321x3+x dx=−1564\displaystyle -\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x^{3}+x\,dx=-\frac{15}{64}을 구하면

−∫321x3+x dx=−1564\displaystyle -\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x^{3}+x\,dx=-\frac{15}{64}이므로 구하는 값은 5512−173192\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{12}-\frac{173}{192}이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1\displaystyle 1~2\displaystyle 2점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 −0.5\displaystyle -0.5~+0.5\displaystyle +0.5점 부여 가능함.

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