일반형 2번

$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}\times\overline{\mathrm{PB}}=1$을 제곱하여 식으로 쓰면 $\displaystyle \left((x-1)^{2}+y^{2}\right)\left((x+1)^{2}+y^{2}\right)=1$이다.$\displaystyle y^{4}+2(x^{2}+1)y^{2}+(x^{2}-1)^{2}-1=0$이고 $\displaystyle \left(y^{2}+x^{2}+1\right)^{2}=4x^{2}+1$로 쓸 수 있고 $\displaystyle y^{2}=\sqrt{4x^{2}+1}-x^{2}-1$이다.

음함수 미분하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\left(\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+1}}-x\right)$이다.

조건 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$에서 $\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{4a^{2}+1}}-a=0$이고 $\displaystyle b^{2}=\sqrt{4a^{2}+1}-a^{2}-1$이므로 계산하면 $\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$이고 $\displaystyle b=\frac{1}{2}$이다.

$\displaystyle \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} xy^{2}dx=\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x\left(\sqrt{4x^{2}+1}-x^{2}-1\right)dx$이다.

$\displaystyle 4x^{2}+1=t$로 치환하면 $\displaystyle \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x\sqrt{4x^{2}+1}\,dx=\int_{4}^{5}\frac{1}{8}\sqrt{t}\,dt=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-8)$이고

$\displaystyle -\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} x^{3}+x\,dx=-\frac{15}{64}$이므로 구하는 값은 $\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{12}-\frac{173}{192}$이다.