중앙대 2027학년도 모의 일반형 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

• $\displaystyle x$ 의 값의 범위가 $\displaystyle \alpha\le x\le\beta$ 일 때, 이차함수 $\displaystyle f(x)=a(x-p)^{2}+q$ 의 최댓값과 최솟값은 다음과 같음을 알 수 있다.(i) $\displaystyle \alpha\le p\le\beta$ 이면 $\displaystyle f(\alpha)$ , $\displaystyle f(p)$ , $\displaystyle f(\beta)$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고 가장 작은 값이 최솟값이다.(ii) $\displaystyle p<\alpha$ 또는 $\displaystyle p>\beta$ 이면 $\displaystyle f(\alpha)$ , $\displaystyle f(\beta)$ 중에서 큰 값이 최댓값이고 작은 값이 최솟값이다.• 로그함수 $\displaystyle y=\log_{a}x$ 는 $\displaystyle a>1$ 일 때, $\displaystyle x$ 의 값이 증가하면 $\displaystyle y$ 의 값도 증가한다.• 삼각함수 $\displaystyle y=\sin x$ 는 주기함수이고 주기는 $\displaystyle 2\pi$ 이다.

[문제 3-2] (15점) 양의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le x\le 2\pi$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=\left|4\sin^{2}x-4\sin x-a\right|$ 이 있다. $\displaystyle 0\le x\le 2\pi$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값을 $\displaystyle M$ 이라 할 때, $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle f(x)=M$ 이 구간 $\displaystyle [0,2\pi]$ 에서 서로 다른 세 실근 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ , $\displaystyle x_{3}$ 을 갖는다. $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ , $\displaystyle x_{3}$ 의 값을 구하시오.

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[문제 3-2] 예시 답안

+5점 · 최댓값은

\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}

또는

\displaystyle \sin x=-1

또는

\displaystyle \sin x=1

에서 갖게 됨을 알면

$\displaystyle \sin x=t\ (-1\le t\le 1)$ 라 하면 주어진 함수는 $\displaystyle g(t)=\left|4t^{2}-4t-a\right|=\left|(2t-1)^{2}-1-a\right|$ 이다.최대·최소 정리에 의하여 최댓값은 $\displaystyle t=\frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle t=-1$ 또는 $\displaystyle t=1$ 에서 갖는다.

+5점 ·

\displaystyle a+1

,

\displaystyle |8-a|

,

\displaystyle a

가 최댓값의 가능한 값이고

\displaystyle a

,

\displaystyle a-8

은 최댓값이 될 수 없음을 얻으면

각 점에서 함숫값은 $\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)=a+1$ , $\displaystyle g(-1)=|8-a|$ , $\displaystyle g(1)=a$ 이므로, $\displaystyle a+1$ 보다 작은 $\displaystyle a$ , $\displaystyle a-8$ 은 최댓값이 될 수 없다.

+5점 ·

\displaystyle a+1=8-a

를 얻고

\displaystyle a=\frac{7}{2}

이고 세 실근은

\displaystyle \frac{\pi}{6}

,

\displaystyle \frac{5}{6}\pi

,

\displaystyle \frac{3}{2}\pi

얻은 경우

$\displaystyle t=\frac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{5}{6}\pi$ 이고 $\displaystyle t=-1$ 인 $\displaystyle x=\frac{3}{2}\pi$ 이므로, $\displaystyle f(x)=M$ 이 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서 $\displaystyle a+1=8-a$ 이어야 한다. 따라서, $\displaystyle a=\frac{7}{2}$ 이고 세 실근은 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{5}{6}\pi$ , $\displaystyle \frac{3}{2}\pi$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 $\displaystyle 1$ ~ $\displaystyle 2$ 점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 $\displaystyle -0.5$ ~ $\displaystyle +0.5$ 점 부여 가능함.

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일반형 3-2번

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