일반형 3번

$\displaystyle 2^{a}=k$이므로, $\displaystyle \log_{k}x=\frac{\log_{2}x}{a}$이다. $\displaystyle \log_{k}x=t$라 하면, $\displaystyle -\frac{2}{a}\le t\le\frac{4}{a}$이다.

주어진 함수는 $\displaystyle g(t)=\left|(t+4)(t-8)\right|=\left|t^{2}-4t-32\right|$이다. 주어진 구간에서 $\displaystyle g(t)\ge 29$가 성립하기 위해서는 $\displaystyle \frac{4}{a}<8$이 성립하고(주어진 범위에서 $\displaystyle g(t)\neq 0$), 이로부터 $\displaystyle \frac{4}{a}-2<2+\frac{2}{a}$임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle g(t)$의 최솟값은 구간의 양 끝점 중 꼭짓점 $\displaystyle t=2$에서 거리가 먼 $\displaystyle t=-\frac{2}{a}$에서 갖게 됨을 알 수 있다.

최솟값과 비교하여 $\displaystyle g\left(-\frac{2}{a}\right)=32-\frac{8}{a}-\frac{4}{a^{2}}\ge 29$가 성립하는 $\displaystyle a$를 찾는다. 정리하면$\displaystyle 3a^{2}-8a-4=3\left(a-\frac{4-2\sqrt{7}}{3}\right)\left(a-\frac{4+2\sqrt{7}}{3}\right)\ge 0$이고, $\displaystyle a$는 양수이므로 $\displaystyle a\ge\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$이고 $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{4+2\sqrt{7}}{3}$이다.

$\displaystyle \sin x=t\ (-1\le t\le 1)$라 하면 주어진 함수는 $\displaystyle g(t)=\left|4t^{2}-4t-a\right|=\left|(2t-1)^{2}-1-a\right|$이다.최대·최소 정리에 의하여 최댓값은 $\displaystyle t=\frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle t=-1$ 또는 $\displaystyle t=1$에서 갖는다.

각 점에서 함숫값은 $\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)=a+1$, $\displaystyle g(-1)=|8-a|$, $\displaystyle g(1)=a$이므로, $\displaystyle a+1$보다 작은 $\displaystyle a$, $\displaystyle a-8$은 최댓값이 될 수 없다.

$\displaystyle t=\frac{1}{2}$인 $\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \frac{5}{6}\pi$이고 $\displaystyle t=-1$인 $\displaystyle x=\frac{3}{2}\pi$이므로, $\displaystyle f(x)=M$이 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서 $\displaystyle a+1=8-a$이어야 한다. 따라서, $\displaystyle a=\frac{7}{2}$이고 세 실근은 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \frac{5}{6}\pi$, $\displaystyle \frac{3}{2}\pi$이다.