중앙대 2027학년도 모의 일반형 4-2번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

• 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$ 가, $\displaystyle a=g(\alpha)$ , $\displaystyle b=g(\beta)$ 일 때 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g^{\prime}(t)dt$ • 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능할 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$ • 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(x)$ , $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f^{\prime}(x)g(x)dx$ • $\displaystyle n$ 이 실수일 때, $\displaystyle y=x^{n}$ 이면 $\displaystyle y^{\prime}=nx^{n-1}$ 이다.

[문제 4-2] (15점) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=\left|x-1\right|^{\frac{n}{13}}+\left|x+1\right|^{\frac{n}{13}}$ 의 최솟값을 $\displaystyle a_{n}$ 이라 하자. 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{27} a_{n}$ 의 값을 구하시오.

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[문제 4-2] 예시 답안

+5점 ·

\displaystyle 1\le n\le 12

일 때

\displaystyle a_{n}=2^{\frac{n}{13}}

을 구하면

$\displaystyle f(x)=f(-x)$ 이므로 $\displaystyle x\ge 0$ 인 경우만 생각하자. 또한 $\displaystyle x\ge 1$ 에서 $\displaystyle f(x)$ 는 증가함수이므로 $\displaystyle 0\le x\le 1$ 경우만 생각하면 된다. $\displaystyle 0\le x\le 1$ 에서 주어진 함수는 $\displaystyle f(x)=(1-x)^{\frac{n}{13}}+(x+1)^{\frac{n}{13}}$ 이다.(1) $\displaystyle 1\le n\le 12$ 일 때, $\displaystyle 0\le x<1$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{n}{13}\frac{1}{(x+1)^{1-\frac{n}{13}}}-\frac{n}{13}\frac{1}{(1-x)^{1-\frac{n}{13}}}\le 0$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 최솟값을 가지고 $\displaystyle a_{n}=2^{\frac{n}{13}}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle n\ge 13

일 때

\displaystyle a_{n}=2

를 구하면

(2) $\displaystyle n\ge 13$ 이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{n}{13}(x+1)^{\frac{n}{13}-1}-\frac{n}{13}(1-x)^{\frac{n}{13}-1}\ge 0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 최솟값을 갖고 $\displaystyle a_{n}=2$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \sum_{n=1}^{27} a_{n}=\sum_{n=1}^{12} 2^{\frac{n}{13}}+\sum_{n=13}^{27} 2=\frac{2-2^{\frac{1}{13}}}{2^{\frac{1}{13}}-1}+30

을 구하면

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{27} a_{n}=\sum_{n=1}^{12} 2^{\frac{n}{13}}+\sum_{n=13}^{27} 2=\frac{2-2^{\frac{1}{13}}}{2^{\frac{1}{13}}-1}+30$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 $\displaystyle 1$ ~ $\displaystyle 2$ 점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 $\displaystyle -0.5$ ~ $\displaystyle +0.5$ 점 부여 가능함.

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일반형 4-2번

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