일반형 5-1번

포물선의 초점은 $\displaystyle \mathrm{F}(1,0)$이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y_{1}y=2(x+x_{1})$이다. 이 직선의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \frac{2x_{1}}{y_{1}}=\frac{4x_{1}}{2y_{1}}=\frac{y_{1}^{2}}{2y_{1}}=\frac{y_{1}}{2}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\frac{y_{1}}{2}\right)$이다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^{2}=x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{4}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{FQ}}^{2}=1+\frac{y_{1}^{2}}{4}$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 포물선 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}$는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 포물선의 준선 $\displaystyle x=-1$ 사이의 거리와 같다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}=x_{1}+1$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^{2}+\overline{\mathrm{FQ}}^{2}=\left(x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{4}\right)+\left(1+\frac{y_{1}^{2}}{4}\right)=x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{2}+1=x_{1}^{2}+2x_{1}+1=\overline{\mathrm{FP}}^{2}$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQF}$는 $\displaystyle \angle\mathrm{PQF}=90^{\circ}$인 직각삼각형이다.$\displaystyle \frac{1}{3}=\tan^{2}30^{\circ}=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}^{2}}{\overline{\mathrm{FQ}}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{4}}{1+\frac{y_{1}^{2}}{4}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{1}}{1+x_{1}}$이므로 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{3}$이다.

$\displaystyle y_{1}^{2}=4x_{1}$에서 $\displaystyle y_{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}$이다.

사각형 $\displaystyle \mathrm{OFPQ}$의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\triangle\mathrm{OFP}+\triangle\mathrm{OPQ}=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{OF}}\times y_{1}+\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{OQ}}\times x_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{18}$