일반형 4번

$\displaystyle y=e^{x^{2}}$을 미분하면 $\displaystyle y^{\prime}=2xe^{x^{2}}$이다. 접점 $\displaystyle \left(x,e^{x^{2}}\right)$과 $\displaystyle (t,0)$의 기울기를 고려하면 $\displaystyle \frac{e^{x^{2}}}{x-t}=2xe^{x^{2}}$이고 식을 정리하면 $\displaystyle 2x^{2}-2tx-1=0$이다.

$\displaystyle x$의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=t$, $\displaystyle \alpha\beta=-\frac{1}{2}$이다. 접선의 기울기의 곱은 다음과 같다.$\displaystyle m_{1}(t)m_{2}(t)=4\alpha\beta e^{\alpha^{2}}e^{\beta^{2}}=-2e^{t^{2}+1}$

구하는 정적분은 $\displaystyle -2e\int_{0}^{2} t^{3}e^{t^{2}}dt$이고 $\displaystyle t^{2}=s$로 치환하고 부분적분하면 다음을 얻는다.$\displaystyle -2e\int_{0}^{2} t^{3}e^{t^{2}}dt=-e\int_{0}^{4} se^{s}ds=-(3e^{5}+e)$

$\displaystyle f(x)=f(-x)$이므로 $\displaystyle x\ge 0$인 경우만 생각하자. 또한 $\displaystyle x\ge 1$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이므로 $\displaystyle 0\le x\le 1$ 경우만 생각하면 된다. $\displaystyle 0\le x\le 1$에서 주어진 함수는 $\displaystyle f(x)=(1-x)^{\frac{n}{13}}+(x+1)^{\frac{n}{13}}$이다.(1) $\displaystyle 1\le n\le 12$일 때, $\displaystyle 0\le x<1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{n}{13}\frac{1}{(x+1)^{1-\frac{n}{13}}}-\frac{n}{13}\frac{1}{(1-x)^{1-\frac{n}{13}}}\le 0$이므로 $\displaystyle x=1$에서 최솟값을 가지고 $\displaystyle a_{n}=2^{\frac{n}{13}}$이다.

(2) $\displaystyle n\ge 13$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{n}{13}(x+1)^{\frac{n}{13}-1}-\frac{n}{13}(1-x)^{\frac{n}{13}-1}\ge 0$이므로 $\displaystyle x=0$에서 최솟값을 갖고 $\displaystyle a_{n}=2$이다.

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{27} a_{n}=\sum_{n=1}^{12} 2^{\frac{n}{13}}+\sum_{n=13}^{27} 2=\frac{2-2^{\frac{1}{13}}}{2^{\frac{1}{13}}-1}+30$이다.