일반형 5번

포물선의 초점은 $\displaystyle \mathrm{F}(1,0)$이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y_{1}y=2(x+x_{1})$이다. 이 직선의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \frac{2x_{1}}{y_{1}}=\frac{4x_{1}}{2y_{1}}=\frac{y_{1}^{2}}{2y_{1}}=\frac{y_{1}}{2}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\frac{y_{1}}{2}\right)$이다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^{2}=x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{4}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{FQ}}^{2}=1+\frac{y_{1}^{2}}{4}$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 포물선 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}$는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 포물선의 준선 $\displaystyle x=-1$ 사이의 거리와 같다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}=x_{1}+1$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^{2}+\overline{\mathrm{FQ}}^{2}=\left(x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{4}\right)+\left(1+\frac{y_{1}^{2}}{4}\right)=x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{2}+1=x_{1}^{2}+2x_{1}+1=\overline{\mathrm{FP}}^{2}$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQF}$는 $\displaystyle \angle\mathrm{PQF}=90^{\circ}$인 직각삼각형이다.$\displaystyle \frac{1}{3}=\tan^{2}30^{\circ}=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}^{2}}{\overline{\mathrm{FQ}}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{4}}{1+\frac{y_{1}^{2}}{4}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{1}}{1+x_{1}}$이므로 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{3}$이다.

$\displaystyle y_{1}^{2}=4x_{1}$에서 $\displaystyle y_{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}$이다.

사각형 $\displaystyle \mathrm{OFPQ}$의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\triangle\mathrm{OFP}+\triangle\mathrm{OPQ}=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{OF}}\times y_{1}+\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{OQ}}\times x_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{18}$

정사면체 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 한 모서리의 길이를 $\displaystyle 3a(a>0)$라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CDQ}$에서 코사인법칙에 의하여$\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}}^{2}=\overline{\mathrm{CD}}^{2}+\overline{\mathrm{QD}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{CD}}\times\overline{\mathrm{QD}}\times\cos(\angle\mathrm{CDQ})=9a^{2}+a^{2}-2\times 3a\times a\times\frac{1}{2}=7a^{2}$따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}}=\sqrt{7}\,a$이다. 마찬가지 방법으로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\sqrt{7}\,a$임을 알 수 있다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCQ}$에서 코사인법칙에 의하여$\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BCQ})=\frac{\overline{\mathrm{BC}}^{2}+\overline{\mathrm{CQ}}^{2}-\overline{\mathrm{BQ}}^{2}}{2\times\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{CQ}}}=\frac{9a^{2}+7a^{2}-7a^{2}}{2\times 3a\times\sqrt{7}\,a}=\frac{3}{2\sqrt{7}}$

삼각형 $\displaystyle \mathrm{PCQ}$에서 코사인법칙에 의하여$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^{2}=\overline{\mathrm{PC}}^{2}+\overline{\mathrm{CQ}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{PC}}\times\overline{\mathrm{CQ}}\times\cos(\angle\mathrm{BCQ})=4a^{2}+7a^{2}-2\times 2a\times\sqrt{7}\,a\times\frac{3}{2\sqrt{7}}=5a^{2}$

모서리 $\displaystyle \mathrm{AC}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{R}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=2a$이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PCR}$에서 코사인법칙에 의하여$\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}^{2}=\overline{\mathrm{PC}}^{2}+\overline{\mathrm{CR}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{PC}}\times\overline{\mathrm{CR}}\times\cos(\angle\mathrm{PCR})=4a^{2}+a^{2}-2\times 2a\times a\times\frac{1}{2}=3a^{2}$직선 $\displaystyle \mathrm{RQ}$는 직선 $\displaystyle \mathrm{CD}$와 평행하므로 두 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$, $\displaystyle \mathrm{CD}$가 이루는 예각의 크기 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{PQR}$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$에서 코사인법칙에 의하여$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}^{2}+\overline{\mathrm{QR}}^{2}-\overline{\mathrm{PR}}^{2}}{2\times\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{QR}}}=\frac{5a^{2}+4a^{2}-3a^{2}}{2\times\sqrt{5}\,a\times 2a}=\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$