중앙대 2027학년도 모의 일반형 5-2번 해설

※ [문제 5]는 자연계열 모집단위 중 의/약학부 지원자만 풀이하는 추가 문항입니다.

[문제 5] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

• 초점이 $\displaystyle \mathrm{F}(p,0)$ , 준선이 $\displaystyle x=-p$ 인 포물선의 방정식은 $\displaystyle y^{2}=4px$ (단, $\displaystyle p\neq 0$ )이다.• 두 직선 $\displaystyle l$ , $\displaystyle m$ 이 꼬인 위치에 있을 때, 직선 $\displaystyle m$ 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 를 지나고 직선 $\displaystyle l$ 에 평행한 직선 $\displaystyle l^{\prime}$ 을 그으면 두 직선 $\displaystyle l^{\prime}$ , $\displaystyle m$ 은 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 에서 만나므로 한 평면을 결정한다. 이때 두 직선 $\displaystyle l^{\prime}$ , $\displaystyle m$ 이 이루는 각을 두 직선 $\displaystyle l$ , $\displaystyle m$ 이 이루는 각이라 한다. 여기서 두 직선 $\displaystyle l^{\prime}$ 과 $\displaystyle m$ 이 이루는 각의 크기는 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 의 위치에 관계없이 항상 일정하다.

평면 위에 그려진 직선 m과, 그 위의 점 O를 지나며 평면 밖의 직선 l에 평행한 직선 l′. 두 직선이 점 O에서 이루는 각이 표시되어 있다.

[문제 5-2] (15점) 그림과 같이 정사면체 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 에 대하여 모서리 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ , 모서리 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 두 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ , $\displaystyle \mathrm{CD}$ 가 이루는 예각의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라 할 때, $\displaystyle \cos\theta$ 의 값을 구하시오.

정사면체 ABCD. 모서리 BC를 1:2로 내분하는 점 P와 모서리 AD를 2:1로 내분하는 점 Q가 표시되어 있고, 두 점을 잇는 선분 PQ가 그려져 있다. 모서리 BD는 점선이다.

중앙대 2027학년도 모의 일반형 5-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2027mo/ilban_5_2

[문제 5-2] 예시 답안

+5점 ·

\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BCQ})=\frac{3}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}

을 구하면

정사면체 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 한 모서리의 길이를 $\displaystyle 3a(a>0)$ 라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CDQ}$ 에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}}^{2}=\overline{\mathrm{CD}}^{2}+\overline{\mathrm{QD}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{CD}}\times\overline{\mathrm{QD}}\times\cos(\angle\mathrm{CDQ})=9a^{2}+a^{2}-2\times 3a\times a\times\frac{1}{2}=7a^{2}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}}=\sqrt{7}\,a$ 이다. 마찬가지 방법으로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\sqrt{7}\,a$ 임을 알 수 있다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCQ}$ 에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BCQ})=\frac{\overline{\mathrm{BC}}^{2}+\overline{\mathrm{CQ}}^{2}-\overline{\mathrm{BQ}}^{2}}{2\times\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{CQ}}}=\frac{9a^{2}+7a^{2}-7a^{2}}{2\times 3a\times\sqrt{7}\,a}=\frac{3}{2\sqrt{7}}$

정사면체 ABCD에 점 P, Q와 함께 모서리 AC를 2:1로 내분하는 점 R이 더 표시된 그림. 선분 PQ, QR, PR, BQ, CQ가 그려져 있다.

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{5}\,a

를 구하면

삼각형 $\displaystyle \mathrm{PCQ}$ 에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^{2}=\overline{\mathrm{PC}}^{2}+\overline{\mathrm{CQ}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{PC}}\times\overline{\mathrm{CQ}}\times\cos(\angle\mathrm{BCQ})=4a^{2}+7a^{2}-2\times 2a\times\sqrt{7}\,a\times\frac{3}{2\sqrt{7}}=5a^{2}$

+5점 ·

\displaystyle \cos\theta=\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}

를 구하면

모서리 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{R}$ 이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=2a$ 이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PCR}$ 에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}^{2}=\overline{\mathrm{PC}}^{2}+\overline{\mathrm{CR}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{PC}}\times\overline{\mathrm{CR}}\times\cos(\angle\mathrm{PCR})=4a^{2}+a^{2}-2\times 2a\times a\times\frac{1}{2}=3a^{2}$ 직선 $\displaystyle \mathrm{RQ}$ 는 직선 $\displaystyle \mathrm{CD}$ 와 평행하므로 두 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ , $\displaystyle \mathrm{CD}$ 가 이루는 예각의 크기 $\displaystyle \theta$ 는 $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{PQR}$ 이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$ 에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}^{2}+\overline{\mathrm{QR}}^{2}-\overline{\mathrm{PR}}^{2}}{2\times\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{QR}}}=\frac{5a^{2}+4a^{2}-3a^{2}}{2\times\sqrt{5}\,a\times 2a}=\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 $\displaystyle 1$ ~ $\displaystyle 2$ 점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 $\displaystyle -0.5$ ~ $\displaystyle +0.5$ 점 부여 가능함.

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일반형 5-2번

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