창의형 1번

$\displaystyle y=x^{3}-x$를 미분하여 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=3x^{2}-1$을 구하고 $\displaystyle (1,0)$에서의 접선의 기울기 2 구한다. 접선이 $\displaystyle (1,0)$를 지나므로, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2x-2$이다.

방정식 $\displaystyle x^{3}-x=2x-2$를 풀어 교점 $\displaystyle (-2,-6)$을 구한다.

구간 $\displaystyle \left[-2-\frac{1}{n},\,-2\right]$에서는 직선 $\displaystyle \ell$이 곡선 $\displaystyle y=x^{3}-x$ 위에 있고, 구간 $\displaystyle \left[-2,\,-2+\frac{1}{n}\right]$에서는 곡선 $\displaystyle y=x^{3}-x$가 직선 $\displaystyle \ell$ 위에 있다. 따라서, 구하고자 하는 넓이는 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle A_{n}=\int_{-2-\frac{1}{n}}^{-2+\frac{1}{n}}\left|(x^{3}-x)-(2x-2)\right|dx=\int_{-2-\frac{1}{n}}^{-2}\left(-x^{3}+3x-2\right)dx+\int_{-2}^{-2+\frac{1}{n}}\left(x^{3}-3x+2\right)dx$

위 적분은 직접 계산해도 되지만 치환을 하면 계산이 간단해지므로, 각각 $\displaystyle x=-2-u$, $\displaystyle x=-2+u$로 치환하여,$\displaystyle A_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{n}}\left(u^{3}+6u^{2}+9u\right)du+\int_{0}^{\frac{1}{n}}\left(u^{3}-6u^{2}+9u\right)du=\int_{0}^{\frac{1}{n}}\left(2u^{3}+18u\right)du=\frac{1}{2n^{4}}+\frac{9}{n^{2}}$

를 구한 후, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}A_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2n^{2}}+9\right)=9$를 구한다.