경희대 2016학년도 모의 의학계 1번 해설

Ⅰ. 다음 제시문과 그림을 참조하여 논제에 답하시오. <수학>

[가] 다음 그림과 같이 좌표평면 위에서 동경 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 가 나타내는 일반각의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라 할 때, 반지름의 길이가 $\displaystyle r$ , $\displaystyle r^{\prime}$ 인 두 원과 동경 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 의 교점을 각각 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( x , y \right)$ , $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime} \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right)$ 이라고 하면 $\displaystyle \frac{x}{x^{\prime}} = \frac{y}{y^{\prime}} = \frac{r}{r^{\prime}}$ 에서 $\displaystyle \frac{y}{r} = \frac{y^{\prime}}{r^{\prime}}$ , $\displaystyle \frac{x}{r} = \frac{x^{\prime}}{r^{\prime}}$ , $\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{y^{\prime}}{x^{\prime}}$ 이 성립한다.Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$ 이 아닌지 확인해야 한다: 제시문 그림에서는 네 좌표가 모두 $\displaystyle 0$ 이 아니므로 $\displaystyle \frac{x}{x^{\prime}}=\frac{y}{y^{\prime}}=\frac r{r^{\prime}}$ 를 쓸 수 있다. 그러나 이를 일반각 전체에 적용할 때는 축 위의 점을 따로 확인해야 한다. 예를 들어 $\displaystyle \theta=0$ 이면 $\displaystyle y=y^{\prime}=0$ 이므로 $\displaystyle \frac y{y^{\prime}}$ 는 정의되지 않는다. 양수인 반지름으로 나눈 $\displaystyle \frac xr=\frac{x^{\prime}}{r^{\prime}}$ , $\displaystyle \frac yr=\frac{y^{\prime}}{r^{\prime}}$ 로 나타내면 축 위의 점도 포함할 수 있다.

일반적으로, 임의의 실수 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 비 $\displaystyle \frac{y}{r}$ , $\displaystyle \frac{x}{r}$ , $\displaystyle \frac{y}{x}$ $\displaystyle \left( x \ne 0 \right)$ 의 값은 $\displaystyle r$ 의 값에 관계없이 $\displaystyle \theta$ 의 크기에 따라 각각 한 가지로 결정된다. 즉, 대응 관계 $\displaystyle \theta \to \frac{y}{r}$ , $\displaystyle \theta \to \frac{x}{r}$ , $\displaystyle \theta \to \frac{y}{x}$ $\displaystyle \left( x \ne 0 \right)$ 는 각각 함수이다. 이 함수를 차례로 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하고, 이것을 각각 $\displaystyle \sin \theta = \frac{y}{r}$ , $\displaystyle \cos \theta = \frac{x}{r}$ , $\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{x}$ $\displaystyle \left( x \ne 0 \right)$ 와 같이 나타낸다. 이들 함수를 일반각 $\displaystyle \theta$ 에 대한 삼각함수라고 한다.

[나] 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하여 얻은 도형과 합동인 도형을 처음 도형과 서로 닮음인 관계에 있다고 하며, 닮음인 관계에 있는 두 도형을 닮은 도형이라고 한다. 서로 닮은 다각형에서는 대응하는 변의 길이의 비와 대응하는 각의 크기가 각각 같다. 역으로 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같고, 대응하는 각의 크기도 각각 같은 두 다각형은 서로 닮은 도형이다.

[다] 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ 에 대하여 $\displaystyle x_{1} < x_{2}$ 일 때, $\displaystyle f ( x_{1} ) < f ( x_{2} )$ 이면 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 이 구간에서 증가한다고 한다. 또, $\displaystyle x_{1} < x_{2}$ 일 때, $\displaystyle f ( x_{1} ) > f ( x_{2} )$ 이면 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 이 구간에서 감소한다고 한다.

[라] 함수 $\displaystyle f ( x )$ 에서 충분히 작은 양수 $\displaystyle h$ 에 대하여 $\displaystyle f ( a - h ) < f ( a ) < f ( a + h )$ 일 때, 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 증가상태에 있다고 하고, $\displaystyle f ( a - h ) > f ( a ) > f ( a + h )$ 일 때, 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 감소상태에 있다고 한다.

이제 함수의 증가상태, 감소상태와 미분계수의 부호 사이의 관계를 알아보자.

함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 $\displaystyle x = a$ 에서 미분가능하면 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f ( a + \Delta x ) - f ( a )}}{\Delta x}$ 이므로 $\displaystyle | \Delta x |$ 가 충분히 작으면 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) \fallingdotseq \frac{{f ( a + \Delta x ) - f ( a )}}{\Delta x}$ 이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime} ( a )$ 와 $\displaystyle \frac{{f ( a + \Delta x ) - f ( a )}}{\Delta x}$ 는 같은 부호를 갖는다.Comment. 위의 두 식이 같은 부호를 갖는다는 설명은 $\displaystyle f'(a)\ne0$ 일 때 성립한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(ⅰ) $\displaystyle f^{\prime} ( a ) > 0$ 이면 $\displaystyle \frac{{f ( a + \Delta x ) - f ( a )}}{\Delta x} > 0$ 이므로, $\displaystyle \Delta x > 0$ 일 때 $\displaystyle f ( a + \Delta x ) > f ( a )$ , $\displaystyle \Delta x < 0$ 일 때 $\displaystyle f ( a + \Delta x ) < f ( a )$ 이다. 따라서 $\displaystyle h = | \Delta x |$ 라고 하면 $\displaystyle f ( a - h ) < f ( a ) < f ( a + h )$ 이므로 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 증가상태에 있다.

(ⅱ) $\displaystyle f^{\prime} ( a ) < 0$ 이면 $\displaystyle \frac{{f ( a + \Delta x ) - f ( a )}}{\Delta x} < 0$ 이므로, $\displaystyle \Delta x > 0$ 일 때 $\displaystyle f ( a + \Delta x ) < f ( a )$ , $\displaystyle \Delta x < 0$ 일 때 $\displaystyle f ( a + \Delta x ) > f ( a )$ 이다. 따라서 $\displaystyle h = | \Delta x |$ 라고 하면 $\displaystyle f ( a - h ) > f ( a ) > f ( a + h )$ 이므로 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 감소상태에 있다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

함수의 증가상태와 감소상태

함수 $\displaystyle y = f ( x )$ 가 $\displaystyle x = a$ 에서 미분가능할 때

(1) $\displaystyle f^{\prime} ( a ) > 0$ 이면 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 증가상태에 있다.

(2) $\displaystyle f^{\prime} ( a ) < 0$ 이면 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 감소상태에 있다.

[논제 Ⅰ] 다음 그림과 같이 변 $\displaystyle \mathrm{DA}$ , 변 $\displaystyle \mathrm{DB}$ , 변 $\displaystyle \mathrm{DC}$ 의 길이가 일정한 상수 $\displaystyle a$ 이고, 밑면이 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 로 이루어진 사면체 $\displaystyle \mathrm{DABC}$ 가 있을 때, 그 사면체에 내접하는 구의 반지름을 $\displaystyle r$ , 외접하는 구의 반지름을 $\displaystyle R$ 이라고 하자. 그리고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DAB}$ 에서 각 $\displaystyle \angle \mathrm{BDA}$ 를 $\displaystyle 2 \theta$ 라고 하자.

[논제 Ⅰ-1] 내접하는 구의 반지름 $\displaystyle r$ 을 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle \theta$ 로 표현하고 그 근거를 논술하시오. (12점)

[논제 Ⅰ-2] 내접하는 구의 반지름 $\displaystyle r$ 과 변 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 에 대하여, 다음의 부등식이 성립함을 증명하시오. (18점)

$\displaystyle 2 \sqrt{3} r < \overline{\mathrm{AB}}$

[논제 Ⅰ-3] 외접하는 구의 반지름 $\displaystyle R$ 을 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle \theta$ 로 표현하고 그 근거를 논술하시오. (12점)

[논제 Ⅰ-4] 외접하는 구의 반지름 $\displaystyle R$ 과 내접하는 구의 반지름 $\displaystyle r$ 에 대하여, 다음의 부등식이 성립함을 증명하고, 이 부등식에서 등식을 만족할 때가 어떤 사면체인지 논술하시오. (18점)

$\displaystyle 3 r \le R$

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<논제 Ⅰ> 수학

[논제 Ⅰ-1]

변 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$ 이라고 하고, 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 무게중심을 $\displaystyle \mathrm{O}$ 라고 하면 다음의 왼쪽 그림과 같고, 주어진 사면체에 내접하는 구의 중심은 사면체의 세 옆면과 동일한 거리에 있기 때문에, 선분 $\displaystyle \mathrm{OD}$ 위에 있음을 알 수 있다. 이때, 내접하는 구의 반지름을 $\displaystyle r$ 이라고 하고 그 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}_{\mathrm{r}}$ 이라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DMC}$ 를 지나는 평면으로 잘라 단면을 보면 다음의 오른쪽 그림과 같다. 여기에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 그 구가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DAB}$ 를 지나는 평면에 접하는 점이다.

변 $\displaystyle \mathrm{DA}$ 의 길이가 $\displaystyle a$ 이고 각 $\displaystyle \angle \mathrm{ADM}$ 이 $\displaystyle \theta$ 이므로, 변 $\displaystyle \mathrm{DM}$ 의 길이는 $\displaystyle a \cos \theta$ 이고, 변 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 길이는 $\displaystyle 2 a \sin \theta$ 이다. (이때, 사면체를 이루는 $\displaystyle \theta$ 의 범위는 $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ 이다.) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 는 정삼각형이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{CM}$ 의 길이는 $\displaystyle \sqrt{3} a \sin \theta$ 이고, $\displaystyle \mathrm{O}$ 가 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 무게중심이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{OM}$ 의 길이는 $\displaystyle \frac{{a \sin \theta}}{\sqrt{3}}$ 이다. 따라서, 선분 $\displaystyle \mathrm{OD}$ 의 길이는

$\displaystyle \sqrt{a^{2} \cos^{2} \theta - \frac{{a^{2} \sin^{2} \theta}}{3}} = a \sqrt{\frac{{3 - 4 \sin^{2} \theta}}{3}} = a \sqrt{\frac{{3 \sin \theta - 4 \sin^{3} \theta}}{3 \sin \theta}} = a \sqrt{\frac{{\sin 3 \theta}}{3 \sin \theta}}$

이 된다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DPO}_{\mathrm{r}}$ 과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DOM}$ 은 닮은 직각삼각형이므로, 내접하는 구의 반지름 $\displaystyle r$ 은

$\displaystyle \frac{{a \sqrt{\sin \theta \sin 3 \theta}}}{\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta}$ (혹은 $\displaystyle \frac{{a \sqrt{\sin \theta \sin 3 \theta}}}{2 \sqrt{3} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)}$ , $\displaystyle \frac{{a \sin \theta \sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta}}}{\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta}$ , $\displaystyle \frac{{a \sin \theta \sqrt{4 \cos^{2} \theta - 1}}}{\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta}$ )

이 된다.

[논제 Ⅰ-2]

변 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 길이가 $\displaystyle 2 a \sin \theta$ 이므로, 주어진 부등식을 증명하기 위해서 $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta}$ 을 고려한다.

$\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta} = \frac{{\sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta}}}{2 \sqrt{3} \sin \theta + 6 \cos \theta}$ 이므로, $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta}$ 을 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 미분하면 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{\frac{-4\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{3-4\sin^2\theta}}(2\sqrt3\sin\theta+6\cos\theta)-\sqrt{3-4\sin^2\theta}(2\sqrt3\cos\theta-6\sin\theta)}{(2\sqrt3\sin\theta+6\cos\theta)^2}$

이고 이를 정리하면, $\displaystyle - \frac{{\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta}}{2 \sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta} ( 2 \sqrt{3} \sin \theta + 6 \cos \theta )^{2}}$ 이다.Correction. 미분한 식을 정리하는 과정에서 계수가 잘못되었다. 올바른 도함수는 원문에 적힌 식의 12배다. 부호는 그대로 음수이므로 부등식의 증명에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 값은, $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ 에 대하여 항상 음수이므로, $\displaystyle \theta$ 가 증가하면 $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta}$ 은 감소함을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta}$ 의 값은 $\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{r}{2 a \sin \theta}$ 보다 작으므로, $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta} = \frac{{\sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta}}}{2 \sqrt{3} \sin \theta + 6 \cos \theta} < \lim_{\theta \to 0} \frac{r}{2 a \sin \theta} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$ 이다. 그러므로, 주어진 부등식이 성립한다.

[논제 Ⅰ-3]

주어진 사면체에 외접하는 구의 중심도, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 와 동일한 거리에 있기 때문에, 내접하는 구와 마찬가지로 선분 $\displaystyle \mathrm{OD}$ 위에 있음을 알 수 있다. 이때, 외접하는 구의 반지름을 $\displaystyle R$ 이라고 하고 그 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}_{\mathrm{R}}$ 이라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DMC}$ 를 지나는 평면으로 잘라 단면을 보면 다음의 그림과 같다.Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: 외접구의 중심은 직선 $\displaystyle OD$ 위에 있으나 항상 선분 $\displaystyle OD$ 위에 있는 것은 아니다. 또한 $\displaystyle OO_R$ 은 거리이므로 $\displaystyle |OD-R|$ 로 써야 한다. 뒤의 제곱식과 계산 결과에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그러면 논제Ⅰ-(1)에서와 같은 이유로 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}$ 의 길이는 $\displaystyle \frac{{2 a \sin \theta}}{\sqrt{3}}$ 이고, 선분 $\displaystyle \mathrm{OO}_{\mathrm{R}}$ 은 $\displaystyle a \sqrt{\frac{{3 - 4 \sin^{2} \theta}}{3}} - R$ 이 된다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OCO}_{\mathrm{R}}$ 도 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의하여, $\displaystyle \left( a \sqrt{\frac{{3 - 4 \sin^{2} \theta}}{3}} - R \right)^{2} + \frac{{4 a^{2} \sin^{2} \theta}}{3} = R^{2}$ 이 성립한다. 따라서, 외접하는 구의 반지름 $\displaystyle R$ 은

$\displaystyle \frac{{\sqrt{3} a}}{2 \sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta}}$ (혹은 $\displaystyle \frac{{a \sqrt{3 \sin \theta}}}{2 \sqrt{\sin 3 \theta}}$ , $\displaystyle \frac{{\sqrt{3} a}}{2 \sqrt{4 \cos^{2} \theta - 1}}$ )

이 된다.

[논제 Ⅰ-4]

[논제 Ⅰ-2]와 같은 방법으로 $\displaystyle \frac{r}{R}$ 의 최댓값을 고려한다. $\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{2 \sin 3 \theta}}{3 \sin \theta + 3 \sqrt{3} \cos \theta}$ 이고 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ 이므로, $\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{\sin 3 \theta}}{3 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)}$ 이 된다. 여기에서, $\displaystyle \theta + \frac{\pi}{3}$ 을 $\displaystyle t$ 로 치환하자. 즉, $\displaystyle t = \theta + \frac{\pi}{3}$ 이라 하자. 그러면, $\displaystyle t$ 의 범위는 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \le t \le 2 \frac{\pi}{3}$ 이고,Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 이 문제에서 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$ 이므로 $\displaystyle t=\theta+\frac\pi3$ 의 범위는 $\displaystyle \frac\pi3<t<\frac{2\pi}3$ 이다. 양 끝값 $\displaystyle t=\frac\pi3$ , $\displaystyle t=\frac{2\pi}3$ 은 각각 원래 조건에서 제외한 $\displaystyle \theta=0$ , $\displaystyle \theta=\frac\pi3$ 에 대응하므로 포함할 수 없다. 최댓값 $\displaystyle \frac13$ 은 구간 안의 $\displaystyle t=\frac\pi2$ 에서 얻으므로 최댓값과 등호가 성립하는 조건에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{\sin ( 3 t - \pi )}}{3 \sin t} = - \frac{{\sin 3 t}}{3 \sin t} = \frac{{4 \sin^{3} t - 3 \sin t}}{3 \sin t} = \frac{{4 \sin^{2} t}}{3} - 1$

가 된다. 따라서, $\displaystyle \frac{r}{R}$ 는 범위 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \le t \le 2 \frac{\pi}{3}$ 에서 $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ 일 때 최대가 됨을 사인함수의 성질로부터 쉽게 알 수 있다. 즉, $\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{4 \sin^{2} t}}{3} - 1 \le \frac{{4 \sin^{2} \frac{\pi}{2}}}{3} - 1 = \frac{1}{3}$ 이므로, 논제에 주어진 부등식이 성립한다. 이때 등식이 성립하는 경우는, $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ 인 경우이므로 그때 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$ 이다. 이 경우는 정사면체이다.

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