의학계 1번

<논제 Ⅰ> 수학

[논제 Ⅰ-1]

변 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$이라고 하고, 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\displaystyle \mathrm{O}$라고 하면 다음의 왼쪽 그림과 같고, 주어진 사면체에 내접하는 구의 중심은 사면체의 세 옆면과 동일한 거리에 있기 때문에, 선분 $\displaystyle \mathrm{OD}$ 위에 있음을 알 수 있다. 이때, 내접하는 구의 반지름을 $\displaystyle r$이라고 하고 그 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}_{\mathrm{r}}$이라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DMC}$를 지나는 평면으로 잘라 단면을 보면 다음의 오른쪽 그림과 같다. 여기에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 그 구가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DAB}$를 지나는 평면에 접하는 점이다.

변 $\displaystyle \mathrm{DA}$의 길이가 $\displaystyle a$이고 각 $\displaystyle \angle \mathrm{ADM}$이 $\displaystyle \theta$이므로, 변 $\displaystyle \mathrm{DM}$의 길이는 $\displaystyle a \cos \theta$이고, 변 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이는 $\displaystyle 2 a \sin \theta$이다. (이때, 사면체를 이루는 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{3}$이다.) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 정삼각형이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{CM}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{3} a \sin \theta$이고, $\displaystyle \mathrm{O}$가 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 무게중심이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{OM}$의 길이는 $\displaystyle \frac{{a \sin \theta}}{\sqrt{3}}$이다. 따라서, 선분 $\displaystyle \mathrm{OD}$의 길이는

$\displaystyle \sqrt{a^{2} \cos^{2} \theta - \frac{{a^{2} \sin^{2} \theta}}{3}} = a \sqrt{\frac{{3 - 4 \sin^{2} \theta}}{3}} = a \sqrt{\frac{{3 \sin \theta - 4 \sin^{3} \theta}}{3 \sin \theta}} = a \sqrt{\frac{{\sin 3 \theta}}{3 \sin \theta}}$

이 된다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DPO}_{\mathrm{r}}$과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DOM}$은 닮은 직각삼각형이므로, 내접하는 구의 반지름 $\displaystyle r$은

$\displaystyle \frac{{a \sqrt{\sin \theta \sin 3 \theta}}}{\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta}$ (혹은 $\displaystyle \frac{{a \sqrt{\sin \theta \sin 3 \theta}}}{2 \sqrt{3} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)}$, $\displaystyle \frac{{a \sin \theta \sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta}}}{\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta}$, $\displaystyle \frac{{a \sin \theta \sqrt{4 \cos^{2} \theta - 1}}}{\sqrt{3} \sin \theta + 3 \cos \theta}$)

이 된다.

[논제 Ⅰ-2]

변 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이가 $\displaystyle 2 a \sin \theta$이므로, 주어진 부등식을 증명하기 위해서 $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta}$을 고려한다.

$\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta} = \frac{{\sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta}}}{2 \sqrt{3} \sin \theta + 6 \cos \theta}$이므로, $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta}$을 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하면 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{\frac{-4\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{3-4\sin^2\theta}}(2\sqrt3\sin\theta+6\cos\theta)-\sqrt{3-4\sin^2\theta}(2\sqrt3\cos\theta-6\sin\theta)}{(2\sqrt3\sin\theta+6\cos\theta)^2}$

이고 이를 정리하면, $\displaystyle - \frac{{\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta}}{2 \sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta} ( 2 \sqrt{3} \sin \theta + 6 \cos \theta )^{2}}$이다.Correction. 미분한 식을 정리하는 과정에서 계수가 잘못되었다. 올바른 도함수는 원문에 적힌 식의 12배다. 부호는 그대로 음수이므로 부등식의 증명에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 값은, $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{3}$에 대하여 항상 음수이므로, $\displaystyle \theta$가 증가하면 $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta}$은 감소함을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta}$의 값은 $\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{r}{2 a \sin \theta}$보다 작으므로, $\displaystyle \frac{r}{2 a \sin \theta} = \frac{{\sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta}}}{2 \sqrt{3} \sin \theta + 6 \cos \theta} < \lim_{\theta \to 0} \frac{r}{2 a \sin \theta} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$이다. 그러므로, 주어진 부등식이 성립한다.

[논제 Ⅰ-3]

주어진 사면체에 외접하는 구의 중심도, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$와 동일한 거리에 있기 때문에, 내접하는 구와 마찬가지로 선분 $\displaystyle \mathrm{OD}$ 위에 있음을 알 수 있다. 이때, 외접하는 구의 반지름을 $\displaystyle R$이라고 하고 그 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}_{\mathrm{R}}$이라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DMC}$를 지나는 평면으로 잘라 단면을 보면 다음의 그림과 같다.Comment. 외접구의 중심은 직선 $\displaystyle OD$ 위에 있으나 항상 선분 $\displaystyle OD$ 위에 있는 것은 아니다. 또한 $\displaystyle OO_R$은 거리이므로 $\displaystyle |OD-R|$로 써야 한다. 뒤의 제곱식과 계산 결과에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그러면 논제Ⅰ-(1)에서와 같은 이유로 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}$의 길이는 $\displaystyle \frac{{2 a \sin \theta}}{\sqrt{3}}$이고, 선분 $\displaystyle \mathrm{OO}_{\mathrm{R}}$은 $\displaystyle a \sqrt{\frac{{3 - 4 \sin^{2} \theta}}{3}} - R$이 된다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OCO}_{\mathrm{R}}$도 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의하여, $\displaystyle \left( a \sqrt{\frac{{3 - 4 \sin^{2} \theta}}{3}} - R \right)^{2} + \frac{{4 a^{2} \sin^{2} \theta}}{3} = R^{2}$이 성립한다. 따라서, 외접하는 구의 반지름 $\displaystyle R$은

$\displaystyle \frac{{\sqrt{3} a}}{2 \sqrt{3 - 4 \sin^{2} \theta}}$ (혹은 $\displaystyle \frac{{a \sqrt{3 \sin \theta}}}{2 \sqrt{\sin 3 \theta}}$, $\displaystyle \frac{{\sqrt{3} a}}{2 \sqrt{4 \cos^{2} \theta - 1}}$)

이 된다.

[논제 Ⅰ-4]

[논제 Ⅰ-2]와 같은 방법으로 $\displaystyle \frac{r}{R}$의 최댓값을 고려한다. $\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{2 \sin 3 \theta}}{3 \sin \theta + 3 \sqrt{3} \cos \theta}$이고 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$이므로, $\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{\sin 3 \theta}}{3 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)}$이 된다. 여기에서, $\displaystyle \theta + \frac{\pi}{3}$을 $\displaystyle t$로 치환하자. 즉, $\displaystyle t = \theta + \frac{\pi}{3}$이라 하자. 그러면, $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \le t \le 2 \frac{\pi}{3}$이고,Correction. $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$이므로, 치환한 변수 $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle \frac{\pi}{3}<t<\frac{2\pi}{3}$이다. 최댓값에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{\sin ( 3 t - \pi )}}{3 \sin t} = - \frac{{\sin 3 t}}{3 \sin t} = \frac{{4 \sin^{3} t - 3 \sin t}}{3 \sin t} = \frac{{4 \sin^{2} t}}{3} - 1$

가 된다. 따라서, $\displaystyle \frac{r}{R}$는 범위 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \le t \le 2 \frac{\pi}{3}$에서 $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$일 때 최대가 됨을 사인함수의 성질로부터 쉽게 알 수 있다. 즉, $\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{{4 \sin^{2} t}}{3} - 1 \le \frac{{4 \sin^{2} \frac{\pi}{2}}}{3} - 1 = \frac{1}{3}$이므로, 논제에 주어진 부등식이 성립한다. 이때 등식이 성립하는 경우는, $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$인 경우이므로 그때 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$이다. 이 경우는 정사면체이다.