자연계열 (일요일) 1-1번

[가] 이차함수 $\displaystyle y = a x^{2} + b x + c$는 완전제곱식을 이용하여 $\displaystyle y = a ( x - p )^{2} + q$의 꼴로 나타낼 수 있으므로 이차함수의 최댓값과 최솟값에 대하여 다음을 알 수 있다.

이차함수 $\displaystyle y = a ( x - p )^{2} + q$는

① $\displaystyle a > 0$이면 $\displaystyle x = p$일 때 최솟값 $\displaystyle q$를 가진다.

② $\displaystyle a < 0$이면 $\displaystyle x = p$일 때 최댓값 $\displaystyle q$를 가진다.

[나] 두 함수 $\displaystyle f ( x )$, $\displaystyle g ( x )$가 미분가능할 때 다음 성질이 성립한다.

① $\displaystyle \left\{ c f ( x ) \right\}^{\prime} = c f^{\prime} ( x )$ (단, $\displaystyle c$는 상수)

② $\displaystyle \left\{ f ( x ) + g ( x ) \right\}^{\prime} = f^{\prime} ( x ) + g^{\prime} ( x )$

③ $\displaystyle \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\}^{\prime} = f^{\prime} ( x ) - g^{\prime} ( x )$

④ $\displaystyle \left\{ f ( x ) g ( x ) \right\}^{\prime} = f^{\prime} ( x ) g ( x ) + f ( x ) g^{\prime} ( x )$

[다] 호도법을 이용하여 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여 보자.

반지름의 길이가 $\displaystyle r$, 중심각의 크기가 $\displaystyle \theta$(라디안)인 부채꼴에서 호의 길이를 $\displaystyle l$이라고 하면 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 $\displaystyle l : 2 \pi r = \theta : 2 \pi$, 즉 $\displaystyle l = r \theta$이다. 또 부채꼴의 넓이를 $\displaystyle S$라고 하면 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하므로 $\displaystyle S : \pi r^{2} = \theta : 2 \pi$, 즉 $\displaystyle S = \frac{1}{2} r^{2} \theta = \frac{1}{2} r l$이다.

[라] 최대$\displaystyle \cdot$최소 정리에 의하여 함수 $\displaystyle f ( x )$가 구간 $\displaystyle [ a , b ]$에서 연속이면 함수 $\displaystyle f ( x )$는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 특히 함수 $\displaystyle f ( x )$의 극값과 구간 $\displaystyle [ a , b ]$에서 양 끝 점의 함숫값 $\displaystyle f ( a )$, $\displaystyle f ( b )$를 이용하면 함수 $\displaystyle f ( x )$의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다. 즉, 극댓값, $\displaystyle f ( a )$, $\displaystyle f ( b )$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고, 극솟값, $\displaystyle f ( a )$, $\displaystyle f ( b )$ 중에서 가장 작은 값이 최솟값이다.