자연계열 (일요일) 1번

[논제 I-1](1) 육각형 $\displaystyle BCDEFG$의 넓이 $\displaystyle S_1(x)$는삼각형 $\displaystyle BCD$, 사다리꼴 $\displaystyle BDEG$, 삼각형 $\displaystyle EFG$ 넓이의 합이다.$\displaystyle \begin{aligned}S_1(x)&=\frac12\times2x\times x+\frac12\times\{2x+2(1-x)\}\times1+\frac12\times2(1-x)\times(1-x)=x^2+1+(1-x)^2\\&=2x^2-2x+2=2\left(x-\frac12\right)^2+\frac32.\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle x=\frac12$일 때 넓이가 최소가 된다.

(2) (1)에서와 같은 방법으로 넓이 $\displaystyle S_2(x)$를 구하면$\displaystyle \begin{aligned}S_2(x)&=\frac12\times2x\times x+\frac12\times\{2x+2(ax+b)\}\times1+\frac12\times2(ax+b)\times(1-x)\\&=(1-a)x^2+(2a-b+1)x+2b\end{aligned}$

$\displaystyle S_2(x)=k$를 만족하기 위하여 $\displaystyle 1-a=0$, $\displaystyle 2a-b+1=0$, $\displaystyle 2b=k$가 성립해야 한다.따라서 $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=3$이고, $\displaystyle k=6$이다.

[논제 I-2](1) 둘레의 길이 $\displaystyle l$은 부채꼴 $\displaystyle O_1CA$의 호의 길이, 선분 $\displaystyle AB$의 길이, 부채꼴 $\displaystyle O_2BD$의 호의 길이, 선분 $\displaystyle DC$의 길이의 합이다.

사다리꼴 $\displaystyle O_1ABO_2$와 $\displaystyle O_1CDO_2$는 합동이므로 각 $\displaystyle CO_1O_2$의 크기도 $\displaystyle \theta$이다.따라서 부채꼴 $\displaystyle O_1CA$의 중심각의 크기는 $\displaystyle 2\pi-2\theta$이다.선분 $\displaystyle O_1A$와 $\displaystyle O_2B$가 평행이고, 선분 $\displaystyle O_1C$와 $\displaystyle O_2D$가 평행이므로부채꼴 $\displaystyle O_2BD$의 중심각의 크기는 $\displaystyle 2\theta$이다.원 $\displaystyle O_1$의 반지름의 길이$\displaystyle (\overline{O_1A})$를 $\displaystyle r_1$, 원 $\displaystyle O_2$의 반지름의 길이$\displaystyle (\overline{O_2B})$를 $\displaystyle r_2$라 하면$\displaystyle r_1+r_2=1$, $\displaystyle r_1-r_2=\overline{O_1O_2}\cos\theta=\cos\theta$이므로 $\displaystyle r_1=\frac{1+\cos\theta}2$, $\displaystyle r_2=\frac{1-\cos\theta}2$이다.

따라서 부채꼴 $\displaystyle O_1CA$의 호의 길이 $\displaystyle l_1=r_1(2\pi-2\theta)=(\pi-\theta)(1+\cos\theta)$이고,부채꼴 $\displaystyle O_2BD$의 호의 길이 $\displaystyle l_2=r_2(2\theta)=\theta(1-\cos\theta)$이다.선분 $\displaystyle AB$와 $\displaystyle DC$의 길이는 모두 $\displaystyle \overline{O_1O_2}\sin\theta=\sin\theta$이다.그러므로 $\displaystyle l(\theta)=(\pi-\theta)(1+\cos\theta)+\theta(1-\cos\theta)+2\sin\theta=\pi+2\sin\theta+(\pi-2\theta)\cos\theta$.

$\displaystyle l^{\prime}(\theta)=2\cos\theta-2\cos\theta-(\pi-2\theta)\sin\theta=(2\theta-\pi)\sin\theta$이고 $\displaystyle \frac\pi6\le\theta\le\frac{2\pi}3$이므로 $\displaystyle \sin\theta>0$이다.따라서 $\displaystyle \frac\pi6\le\theta<\frac\pi2$일 때 $\displaystyle l^{\prime}(\theta)<0$, $\displaystyle \theta=\frac\pi2$일 때 $\displaystyle l^{\prime}(\theta)=0$, $\displaystyle \frac\pi2<\theta\le\frac{2\pi}3$일 때 $\displaystyle l^{\prime}(\theta)>0$이다.그러므로 $\displaystyle l(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi2$일 때 최소가 되고,

$\displaystyle l\left(\frac\pi6\right)=\pi+1+\frac{\sqrt3\pi}3$, $\displaystyle l\left(\frac{2\pi}3\right)=\pi+\sqrt3+\frac\pi6$ 중에서 더 큰 값이 최대가 된다.$\displaystyle \pi>3$을 이용하면 $\displaystyle \begin{aligned}l\left(\frac{2\pi}3\right)-l\left(\frac\pi6\right)&=\sqrt3-1-\frac{2\sqrt3-1}6\pi\\&<\sqrt3-1-\frac{2\sqrt3-1}6\times3=-\frac12<0\end{aligned}$이므로$\displaystyle l(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$일 때 최대가 되고, 그 최댓값은 $\displaystyle \pi+1+\frac{\sqrt3\pi}3$이다.

(2) 넓이 $\displaystyle S$는 부채꼴 $\displaystyle O_1CA$와 $\displaystyle O_2BD$의 넓이, 사다리꼴 $\displaystyle O_1ABO_2$와 $\displaystyle O_1CDO_2$의 넓이의 합이다.(1)에서 구한 부채꼴의 반지름과 중심각의 크기를 이용하면부채꼴 $\displaystyle O_1CA$의 넓이는 $\displaystyle \frac12r_1^2(2\pi-2\theta)=\frac14(\pi-\theta)(1+\cos\theta)^2$이고,부채꼴 $\displaystyle O_2BD$의 넓이는 $\displaystyle \frac12r_2^2(2\theta)=\frac14\theta(1-\cos\theta)^2$이다.사다리꼴 $\displaystyle O_1ABO_2$와 $\displaystyle O_1CDO_2$의 넓이는 모두 $\displaystyle \frac12(r_1+r_2)\overline{AB}=\frac12\sin\theta$이다.그러므로 $\displaystyle \begin{aligned}S(\theta)&=\frac14(\pi-\theta)(1+\cos\theta)^2+\frac12\sin\theta+\frac12\sin\theta+\frac14\theta(1-\cos\theta)^2\\&=\frac\pi4+\sin\theta+\frac\pi2\cos\theta+\frac\pi4\cos^2\theta-\theta\cos\theta.\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}S^{\prime}(\theta)&=\cos\theta-\frac\pi2\sin\theta-\frac\pi2\cos\theta\sin\theta-\cos\theta+\theta\sin\theta\\&=\left(\theta-\frac\pi2-\frac\pi2\cos\theta\right)\sin\theta=\left(\theta-\frac\pi2\right)\sin\theta-\frac\pi2\cos\theta\sin\theta.\end{aligned}$$\displaystyle \theta=\frac\pi2$일 때, $\displaystyle S^{\prime}\left(\frac\pi2\right)=0$이다.$\displaystyle \frac\pi6\le\theta<\frac\pi2$일 때 $\displaystyle \theta-\frac\pi2<0$, $\displaystyle -\frac\pi2\cos\theta<0$, $\displaystyle \sin\theta>0$이므로 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)<0$이고,$\displaystyle \frac\pi2<\theta\le\frac{2\pi}3$일 때 $\displaystyle \theta-\frac\pi2>0$, $\displaystyle -\frac\pi2\cos\theta>0$, $\displaystyle \sin\theta>0$이므로 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)>0$이다.

따라서 $\displaystyle S(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi2$일 때 최소가 되고, 그 최솟값은 $\displaystyle \frac\pi4+1$이다.