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자연계열 (토요일) 1번

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경희대 2018학년도 수시 자연계열 (토요일) 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2018su/jayeon_sat_1

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문제

[가] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 어떤 구간의 임의의 x1\displaystyle x_{1}, x2\displaystyle x_{2}에 대하여 x1<x2\displaystyle x_{1} < x_{2}일 때 f(x1)<f(x2)\displaystyle f ( x_{1} ) < f ( x_{2} )이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 증가한다고 한다. 한편 x1<x2\displaystyle x_{1} < x_{2}일 때 f(x1)>f(x2)\displaystyle f ( x_{1} ) > f ( x_{2} )이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 감소한다고 한다. f(x)\displaystyle f ( x )가 어떤 열린 구간에서 미분이 가능하고, 이 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여

① f′(x)>0\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 이 구간에서 증가한다.

② f′(x)<0\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 이 구간에서 감소한다.

[나] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속이면, 이 구간에서 f(x)\displaystyle f ( x )는 최댓값과 최솟값을 가진다. 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f ( x )의 최댓값과 최솟값을 구할 때에는 그 구간에서의 극댓값과 극솟값 및 양 끝 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 택하면 된다. 특히 f(x)\displaystyle f ( x )가 구간 (a,b)\displaystyle \left( a , b \right)에서 미분 가능할 때에는 구간 (a,b)\displaystyle \left( a , b \right)에서 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0의 근의 함숫값 및 구간의 양 끝점에서의 함숫값 f(a)\displaystyle f ( a ), f(b)\displaystyle f ( b ) 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 택하면 된다.

[다] 일반적으로 삼각함수의 도함수는 다음과 같다.

(sin⁡x)′=cos⁡x\displaystyle ( \sin x )^{\prime} = \cos x,(cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle ( \cos x )^{\prime} = - \sin x,(tan⁡x)′=sec⁡2x\displaystyle ( \tan x )^{\prime} = \sec^{2} x,

(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x\displaystyle ( \csc x )^{\prime} = - \csc x \cot x,(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x\displaystyle ( \sec x )^{\prime} = \sec x \tan x,(cot⁡x)′=−csc⁡2x\displaystyle ( \cot x )^{\prime} = - \csc^{2} x

[라] 각 θ\displaystyle \theta의 값을 가로축에, 그에 대응하는 tan⁡θ\displaystyle \tan \theta의 값을 세로축에 나타내어 함수 y=tan⁡θ\displaystyle y = \tan \theta의 그래프를 그리면 다음과 같다.

탄젠트 함수의 그래프

[논제 Ⅰ] 제시문 [가]~[라]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

<그림 1>에서 점 O\displaystyle \mathrm{O}에서 만나는 두 직선 l\displaystyle l과 m\displaystyle m이 이루는 각의 크기는 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}이고, 점 P0\displaystyle \mathrm{P}_{0}, A0\displaystyle \mathrm{A}_{0}는 각각 O\displaystyle \mathrm{O}로부터의 거리가 1\displaystyle 1인 직선 l,m\displaystyle l , m 위의 점이다. 그러면 부채꼴 OA0P0\displaystyle \mathrm{OA}{}_{0}\mathrm{P}_{0}는 반지름의 길이가 1\displaystyle 1이고 중심각의 크기가 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}이다. 부채꼴의 호 A0P0\displaystyle \mathrm{A}{}_{0}\mathrm{P}_{0} 위의 한 점 P1\displaystyle \mathrm{P}_{1}을 지나고 l\displaystyle l과 평행한 직선이 m\displaystyle m과 만나는 점을 O1\displaystyle \mathrm{O}_{1}이라 하고 각 A0OP1\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{OP}_{1}의 크기를 θ\displaystyle \theta (0<θ<π3)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{3} \right)라 하자. 그리고 중심이 O1\displaystyle \mathrm{O}_{1}이고 반지름의 길이가 선분 O1P1\displaystyle \mathrm{O}_{1}\mathrm{P}_{1}의 길이와 같은 원이 m\displaystyle m과 만나는 두 점 중 O\displaystyle \mathrm{O}로부터 거리가 더 먼 점을 A1\displaystyle \mathrm{A}_{1}이라 하자.

직선 l, m과 두 부채꼴
<그림 1>

[논제 I-1](1) 선분 OA1\displaystyle \mathrm{OA}_{1}의 길이를 θ\displaystyle \theta의 함수 f(θ)\displaystyle f ( \theta )로 나타내고, 그 과정을 서술하시오. (10점)(2) f(θ)\displaystyle f ( \theta )가 최댓값을 가질 때의 θ\displaystyle \theta의 값을 α\displaystyle \alpha라 하자. α\displaystyle \alpha의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (5점)

[논제 I-2] <그림 1>에서 두 호 A0P1\displaystyle \mathrm{A}{}_{0}\mathrm{P}_{1}, A1P1\displaystyle \mathrm{A}{}_{1}\mathrm{P}_{1}과 선분 A0A1\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{1}에 의해 둘러싸인 도형의 넓이를 θ\displaystyle \theta의 함수 g(θ)\displaystyle g ( \theta )로 나타내고, 그 과정을 서술하시오. (10점)

[논제 I-3] [논제 I-2]에서 구한 g(θ)\displaystyle g ( \theta )가 최댓값을 가질 때의 θ\displaystyle \theta의 값을 β\displaystyle \beta라 하자. tan⁡β\displaystyle \tan \beta를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (20점)

[논제 I-4] [논제 I-1]의 (2)에서 구한 α\displaystyle \alpha와 [논제 I-3]의 β\displaystyle \beta의 크기를 비교하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2018학년도 수시 자연계열 (토요일) 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2018su/jayeon_sat_1

+5점 · 삼각함수의 정의와 직각삼각형에서 삼각함수의 관계를 인지하고 있다.

[논제 I-1](1) 점 P1\displaystyle P_1에서 직선 m\displaystyle m에 내린 수선의 발을 B\displaystyle B라 하면, 선분 O1P1\displaystyle O_1P_1이 직선 l\displaystyle l과 평행하기 때문에 ∠BO1P1=π3\displaystyle \angle BO_1P_1=\frac\pi3이다.

두 부채꼴과 직각삼각형 BO₁P₁

삼각형 BO1P1\displaystyle BO_1P_1는 ∠BO1P1=π3\displaystyle \angle BO_1P_1=\frac\pi3이고 ∠O1BP1=π2\displaystyle \angle O_1BP_1=\frac\pi2이며 BP1‾=sin⁡θ\displaystyle \overline{BP_1}=\sin\theta인 직각삼각형이다. 따라서 O1P1‾=23sin⁡θ\displaystyle \overline{O_1P_1}=\frac2{\sqrt3}\sin\theta, O1B‾=13sin⁡θ\displaystyle \overline{O_1B}=\frac1{\sqrt3}\sin\theta이다.

+5점 · 주어진 도형들 사이의 관계를 이용하여 주어진 길이를 논리적으로 제시한다.

OA1‾=OB‾+BA1‾\displaystyle \overline{OA_1}=\overline{OB}+\overline{BA_1}에서 OB‾=cos⁡θ\displaystyle \overline{OB}=\cos\theta이다. 또한 O1A1‾=O1P1‾=23sin⁡θ\displaystyle \overline{O_1A_1}=\overline{O_1P_1}=\frac2{\sqrt3}\sin\theta이고 O1B‾=13sin⁡θ\displaystyle \overline{O_1B}=\frac1{\sqrt3}\sin\theta이므로 BA1‾=O1A1‾−O1B‾=13sin⁡θ\displaystyle \overline{BA_1}=\overline{O_1A_1}-\overline{O_1B}=\frac1{\sqrt3}\sin\theta이다. 그러므로 f(θ)=cos⁡θ+13sin⁡θ\displaystyle f(\theta)=\cos\theta+\frac1{\sqrt3}\sin\theta이다.

+3점 · f(θ)\displaystyle f(\theta)의 도함수 f′(θ)\displaystyle f^{\prime}(\theta)를 계산하고, f′(θ)=0\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0인 θ\displaystyle \theta를 구한다.

(2) 0<θ<π3\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3에서 f(θ)\displaystyle f(\theta)는 미분가능하고, f′(θ)=−sin⁡θ+13cos⁡θ\displaystyle f^{\prime}(\theta)=-\sin\theta+\frac1{\sqrt3}\cos\theta이므로 0<θ<π3\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3에서 f′(θ)=0\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0이 되는 경우는 tan⁡θ=13\displaystyle \tan\theta=\frac1{\sqrt3}, 즉 θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6이다.

+2점 · 도함수 f′(θ)\displaystyle f^{\prime}(\theta)의 부호와 함수 f(θ)\displaystyle f(\theta)의 증가 및 감소 사이의 관계를 이용하여 최댓값을 가지는 θ=α\displaystyle \theta=\alpha를 구한다.

한편, 구간 0<θ<π6\displaystyle 0<\theta<\frac\pi6에서 f′(θ)>0\displaystyle f^{\prime}(\theta)>0이고 π6<θ<π3\displaystyle \frac\pi6<\theta<\frac\pi3에서 f′(θ)<0\displaystyle f^{\prime}(\theta)<0이므로 f(θ)\displaystyle f(\theta)는 θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6에서 최댓값을 가진다. 따라서 α=π6\displaystyle \alpha=\frac\pi6이다.

+3점 · 부채꼴 및 삼각형과 주어진 도형사이의 관계를 표현한다.

[논제 I-2]두 호 A0P1\displaystyle A_0P_1과 A1P1\displaystyle A_1P_1, 그리고 선분 A0A1\displaystyle A_0A_1에 의해 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 O1A1P1\displaystyle O_1A_1P_1의 넓이와 삼각형 OO1P1\displaystyle OO_1P_1의 넓이의 합에서 부채꼴 OA0P1\displaystyle OA_0P_1의 넓이를 뺀 값과 같다.

+7점 · 부채꼴 및 삼각형의 넓이를 구하고 이를 통하여 주어진 도형의 넓이를 논리적으로 제시한다.

O1P1‾=23sin⁡θ\displaystyle \overline{O_1P_1}=\frac2{\sqrt3}\sin\theta이고 ∠BO1P1=π3\displaystyle \angle BO_1P_1=\frac\pi3이므로부채꼴 O1A1P1\displaystyle O_1A_1P_1의 넓이는 12(23sin⁡θ)2π3=2π9sin⁡2θ\displaystyle \frac12\left(\frac2{\sqrt3}\sin\theta\right)^2\frac\pi3=\frac{2\pi}9\sin^2\theta이다.

삼각형 OO1P1\displaystyle OO_1P_1의 밑변의 길이는 OO1‾=OB‾−O1B‾=cos⁡θ−sin⁡θ3\displaystyle \overline{OO_1}=\overline{OB}-\overline{O_1B}=\cos\theta-\frac{\sin\theta}{\sqrt3}이고 높이는 BP1‾=sin⁡θ\displaystyle \overline{BP_1}=\sin\theta이므로,삼각형 OO1P1\displaystyle OO_1P_1의 넓이는 12sin⁡θ(cos⁡θ−sin⁡θ3)=sin⁡θcos⁡θ2−36sin⁡2θ\displaystyle \frac12\sin\theta\left(\cos\theta-\frac{\sin\theta}{\sqrt3}\right)=\frac{\sin\theta\cos\theta}2-\frac{\sqrt3}6\sin^2\theta이다.

한편 부채꼴 OA0P1\displaystyle OA_0P_1의 넓이는 θ2\displaystyle \frac\theta2이므로, 주어진 도형의 넓이는 0<θ<π3\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3에서g(θ)=2π9sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ2−36sin⁡2θ−θ2=118[(4π−33)sin⁡2θ+9sin⁡θcos⁡θ−9θ]\displaystyle g(\theta)=\frac{2\pi}9\sin^2\theta+\frac{\sin\theta\cos\theta}2-\frac{\sqrt3}6\sin^2\theta-\frac\theta2=\frac1{18}\left[(4\pi-3\sqrt3)\sin^2\theta+9\sin\theta\cos\theta-9\theta\right]이다.

+7점 · g(θ)\displaystyle g(\theta)의 도함수를 구한다.

[논제 I-3]g(θ)=118[(4π−33)sin⁡2θ+9sin⁡θcos⁡θ−9θ]\displaystyle g(\theta)=\frac1{18}\left[(4\pi-3\sqrt3)\sin^2\theta+9\sin\theta\cos\theta-9\theta\right]는 0<θ<π3\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3에서 미분가능하고,g′(θ)=118[2(4π−33)sin⁡θcos⁡θ+9cos⁡2θ−9sin⁡2θ−9]=118[2(4π−33)sin⁡θcos⁡θ−18sin⁡2θ]=sin⁡θcos⁡θ9[(4π−33)−9tan⁡θ]\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(\theta)&=\frac1{18}\left[2(4\pi-3\sqrt3)\sin\theta\cos\theta+9\cos^2\theta-9\sin^2\theta-9\right]=\frac1{18}\left[2(4\pi-3\sqrt3)\sin\theta\cos\theta-18\sin^2\theta\right]\\&=\frac{\sin\theta\cos\theta}9\left[(4\pi-3\sqrt3)-9\tan\theta\right]\end{aligned}이다.

+13점 · 도함수 g′(θ)\displaystyle g^{\prime}(\theta)의 부호와 함수 g(θ)\displaystyle g(\theta)의 증가 및 감소 사이의 관계를 이용하여 최댓값을 가지는 θ=β\displaystyle \theta=\beta의 탄젠트 함수값을 구한다.

0<θ<π3\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3일 때, sin⁡θcos⁡θ>0\displaystyle \sin\theta\cos\theta>0이므로 g′(θ)=0\displaystyle g^{\prime}(\theta)=0인 θ\displaystyle \theta는 tan⁡θ=4π−339\displaystyle \tan\theta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9을 만족한다. 0<θ<π3\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3에서 tan⁡θ\displaystyle \tan\theta는 증가함수이고 0<tan⁡θ=4π−339<3=tan⁡π3\displaystyle 0<\tan\theta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9<\sqrt3=\tan\frac\pi3이므로, tan⁡θ=4π−339\displaystyle \tan\theta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9을 만족하는 θ\displaystyle \theta가 0\displaystyle 0과 π3\displaystyle \frac\pi3사이에 존재한다. 또한 이러한 θ\displaystyle \theta의 좌우에서 g′(θ)\displaystyle g^{\prime}(\theta)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로, 이때의 θ\displaystyle \theta를 β\displaystyle \beta라 하면 g(θ)\displaystyle g(\theta)는 β\displaystyle \beta에서 최댓값을 가지고 tan⁡β=4π−339\displaystyle \tan\beta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9이다.

+5점 · α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta의 탄젠트 함수값을 제시한다.

[논제 I-4][논제 I-1]의 (2)에서 구한 α=π6\displaystyle \alpha=\frac\pi6이므로 tan⁡α=33\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sqrt3}3이고, [논제 I-3]의 β\displaystyle \beta는 tan⁡β=4π−339\displaystyle \tan\beta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9을 만족한다.

+10점 · tan⁡α\displaystyle \tan\alpha와 tan⁡β\displaystyle \tan\beta의 크기비교와 탄젠트함수가 증가함수라는 사실을 이용하여 β>α\displaystyle \beta>\alpha임을 논리적으로 설명한다.

tan⁡β−tan⁡α=4π−639>12−639=2(2−3)3>0\displaystyle \tan\beta-\tan\alpha=\frac{4\pi-6\sqrt3}9>\frac{12-6\sqrt3}9=\frac{2(2-\sqrt3)}3>0이므로 tan⁡β>tan⁡α\displaystyle \tan\beta>\tan\alpha이다.

한편, 0<θ<π3\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3에서 tan⁡θ\displaystyle \tan\theta는 증가함수이므로 β>α\displaystyle \beta>\alpha이다.

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