자연계열 (토요일) 1번

[논제 I-1](1) 점 $\displaystyle P_1$에서 직선 $\displaystyle m$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle B$라 하면, 선분 $\displaystyle O_1P_1$이 직선 $\displaystyle l$과 평행하기 때문에 $\displaystyle \angle BO_1P_1=\frac\pi3$이다.

삼각형 $\displaystyle BO_1P_1$는 $\displaystyle \angle BO_1P_1=\frac\pi3$이고 $\displaystyle \angle O_1BP_1=\frac\pi2$이며 $\displaystyle \overline{BP_1}=\sin\theta$인 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \overline{O_1P_1}=\frac2{\sqrt3}\sin\theta$, $\displaystyle \overline{O_1B}=\frac1{\sqrt3}\sin\theta$이다.

$\displaystyle \overline{OA_1}=\overline{OB}+\overline{BA_1}$에서 $\displaystyle \overline{OB}=\cos\theta$이다. 또한 $\displaystyle \overline{O_1A_1}=\overline{O_1P_1}=\frac2{\sqrt3}\sin\theta$이고 $\displaystyle \overline{O_1B}=\frac1{\sqrt3}\sin\theta$이므로 $\displaystyle \overline{BA_1}=\overline{O_1A_1}-\overline{O_1B}=\frac1{\sqrt3}\sin\theta$이다. 그러므로 $\displaystyle f(\theta)=\cos\theta+\frac1{\sqrt3}\sin\theta$이다.

(2) $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$에서 $\displaystyle f(\theta)$는 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=-\sin\theta+\frac1{\sqrt3}\cos\theta$이므로 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$에서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$이 되는 경우는 $\displaystyle \tan\theta=\frac1{\sqrt3}$, 즉 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$이다. 한편, 구간 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi6$에서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)>0$이고 $\displaystyle \frac\pi6<\theta<\frac\pi3$에서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)<0$이므로 $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$에서 최댓값을 가진다. 따라서 $\displaystyle \alpha=\frac\pi6$이다.

[논제 I-2]두 호 $\displaystyle A_0P_1$과 $\displaystyle A_1P_1$, 그리고 선분 $\displaystyle A_0A_1$에 의해 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 $\displaystyle O_1A_1P_1$의 넓이와 삼각형 $\displaystyle OO_1P_1$의 넓이의 합에서 부채꼴 $\displaystyle OA_0P_1$의 넓이를 뺀 값과 같다.

$\displaystyle \overline{O_1P_1}=\frac2{\sqrt3}\sin\theta$이고 $\displaystyle \angle BO_1P_1=\frac\pi3$이므로부채꼴 $\displaystyle O_1A_1P_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\left(\frac2{\sqrt3}\sin\theta\right)^2\frac\pi3=\frac{2\pi}9\sin^2\theta$이다.

삼각형 $\displaystyle OO_1P_1$의 밑변의 길이는 $\displaystyle \overline{OO_1}=\overline{OB}-\overline{O_1B}=\cos\theta-\frac{\sin\theta}{\sqrt3}$이고 높이는 $\displaystyle \overline{BP_1}=\sin\theta$이므로,삼각형 $\displaystyle OO_1P_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\sin\theta\left(\cos\theta-\frac{\sin\theta}{\sqrt3}\right)=\frac{\sin\theta\cos\theta}2-\frac{\sqrt3}6\sin^2\theta$이다.

한편 부채꼴 $\displaystyle OA_0P_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac\theta2$이므로, 주어진 도형의 넓이는 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$에서$\displaystyle g(\theta)=\frac{2\pi}9\sin^2\theta+\frac{\sin\theta\cos\theta}2-\frac{\sqrt3}6\sin^2\theta-\frac\theta2=\frac1{18}\left[(4\pi-3\sqrt3)\sin^2\theta+9\sin\theta\cos\theta-9\theta\right]$이다.

[논제 I-3]$\displaystyle g(\theta)=\frac1{18}\left[(4\pi-3\sqrt3)\sin^2\theta+9\sin\theta\cos\theta-9\theta\right]$는 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$에서 미분가능하고,$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(\theta)&=\frac1{18}\left[2(4\pi-3\sqrt3)\sin\theta\cos\theta+9\cos^2\theta-9\sin^2\theta-9\right]=\frac1{18}\left[2(4\pi-3\sqrt3)\sin\theta\cos\theta-18\sin^2\theta\right]\\&=\frac{\sin\theta\cos\theta}9\left[(4\pi-3\sqrt3)-9\tan\theta\right]\end{aligned}$이다.

$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$일 때, $\displaystyle \sin\theta\cos\theta>0$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(\theta)=0$인 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \tan\theta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9$을 만족한다. $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$에서 $\displaystyle \tan\theta$는 증가함수이고 $\displaystyle 0<\tan\theta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9<\sqrt3=\tan\frac\pi3$이므로, $\displaystyle \tan\theta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9$을 만족하는 $\displaystyle \theta$가 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle \frac\pi3$사이에 존재한다. 또한 이러한 $\displaystyle \theta$의 좌우에서 $\displaystyle g^{\prime}(\theta)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로, 이때의 $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle \beta$라 하면 $\displaystyle g(\theta)$는 $\displaystyle \beta$에서 최댓값을 가지고 $\displaystyle \tan\beta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9$이다.

[논제 I-4][논제 I-1]의 (2)에서 구한 $\displaystyle \alpha=\frac\pi6$이므로 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sqrt3}3$이고, [논제 I-3]의 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \tan\beta=\frac{4\pi-3\sqrt3}9$을 만족한다.

$\displaystyle \tan\beta-\tan\alpha=\frac{4\pi-6\sqrt3}9>\frac{12-6\sqrt3}9=\frac{2(2-\sqrt3)}3>0$이므로 $\displaystyle \tan\beta>\tan\alpha$이다.

한편, $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$에서 $\displaystyle \tan\theta$는 증가함수이므로 $\displaystyle \beta>\alpha$이다.