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의학계 1-2번

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경희대 2018학년도 수시 의학계 1-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2018su/uihak_1_2

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[가] 좌표평면 위의 한 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm{A} \left( x_{1} , y_{1} \right)을 지나고 기울기가 m\displaystyle m인 직선의 방정식은 y−y1=m(x−x1)\displaystyle y - y_{1} = m ( x - x_{1} )이다. 좌표평면 위의 서로 다른 두 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm{A} \left( x_{1} , y_{1} \right), B(x2,y2)\displaystyle \mathrm{B} \left( x_{2} , y_{2} \right)를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

① x1≠x2\displaystyle x_{1} \ne x_{2}일 때, y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)\displaystyle y - y_{1} = \frac{{y_{2} - y_{1}}}{x_{2} - x_{1}} ( x - x_{1} )

② x1=x2\displaystyle x_{1} = x_{2}일 때, x=x1\displaystyle x = x_{1}

[나] 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f ( x )에 대하여 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0이고 x=a\displaystyle x = a의 좌우에서

① f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x )의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 극대이다.

② f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x )의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 극소이다.

[다] 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f ( x )는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 이때 이 구간에서의 극값과 양 끝점의 함숫값 f(a)\displaystyle f ( a ), f(b)\displaystyle f ( b ) 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.

[라] 어떤 구간에서 부등식 f(x)≥0\displaystyle f ( x ) \ge 0이 성립함을 보이려면 함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 증가, 감소를 조사하여 그 구간에서 f(x)\displaystyle f ( x )의 최솟값이 0\displaystyle 0보다 크거나 같음을 보이면 된다. 또, 부등식 f(x)≥g(x)\displaystyle f ( x ) \ge g ( x )가 성립함을 보이려면 F(x)=f(x)−g(x)\displaystyle F ( x ) = f ( x ) - g ( x )로 놓고 F(x)≥0\displaystyle F ( x ) \ge 0임을 보이면 된다.

[마] 어떤 관계에 의하여 집합 X\displaystyle X의 원소에 집합 Y\displaystyle Y의 원소를 짝지어 주는 것을 X\displaystyle X에서 Y\displaystyle Y로의 대응이라고 한다. 집합 X\displaystyle X의 각 원소에 집합 Y\displaystyle Y의 원소가 하나씩만 대응할 때, 이 대응을 집합 X\displaystyle X에서 집합 Y\displaystyle Y로의 함수라고 하며, 이것을 기호로 f:X→Y\displaystyle f : X \to Y와 같이 나타낸다. 이때 집합 X\displaystyle X를 함수 f\displaystyle f의 정의역, 집합 Y\displaystyle Y를 함수 f\displaystyle f의 공역이라고 한다.

함수 f\displaystyle f에 의하여 정의역 X\displaystyle X의 각 원소 x\displaystyle x에 공역 Y\displaystyle Y의 원소 y\displaystyle y가 대응할 때, 이를 기호로 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )와 같이 나타낸다. 이때 f(x)\displaystyle f ( x )를 x\displaystyle x의 함숫값이라고 하고, 함숫값 전체로 이루어진 집합 {f(x)∣x∈X}\displaystyle \left\{ f ( x ) | x \in X \right\}를 이 함수 f\displaystyle f의 치역이라고 한다.

[논제 I] 제시문 [가]~[마]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

그림 1: 직선과 정사각형 ABCD, 그림 2: 직선 l과 삼각형 EFG

[논제 I-2] <그림 2>와 같이 꼭짓점이 E(6,0)\displaystyle \mathrm{E} \left( 6 , 0 \right), F(0,−3)\displaystyle \mathrm{F} \left( 0 , - 3 \right), G(0,3)\displaystyle \mathrm{G} \left( 0 , 3 \right)인 삼각형 EFG\displaystyle \mathrm{EFG}와 x\displaystyle x축 위에 고정된 점 H(a,0)\displaystyle \mathrm{H} \left( a , 0 \right)이 있다. 점 H\displaystyle \mathrm{H}와 선분 OG\displaystyle \mathrm{OG} 위의 한 점을 지나는 직선 l\displaystyle l이 삼각형 EFG\displaystyle \mathrm{EFG}를 나눌 때, 나누어진 두 도형 중 넓이가 더 크지 않은 도형의 넓이를 T\displaystyle T, 삼각형 EFG\displaystyle \mathrm{EFG}의 넓이에 대한 T\displaystyle T의 비율을 r\displaystyle r라 하자. (단, 0<a≤33−3\displaystyle 0 < a \le 3 \sqrt{3} - 3)

(1) r\displaystyle r의 최댓값과 최솟값을 각각 a\displaystyle a의 식으로 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (30점)

(2) r\displaystyle r의 값이 13\displaystyle \frac{1}{3}이 될 수 없는 a\displaystyle a의 값의 범위를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

해설강의 준비중

경희대 2018학년도 수시 의학계 1-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2018su/uihak_1_2

+6점 · 나누어지는 도형의 넓이의 비율을 식으로 나타낼 수 있다.

[논제 I-2](1) 직선 l\displaystyle l의 y\displaystyle y절편을 n\displaystyle n이라 하자. 직선 l\displaystyle l은 선분 OG\displaystyle OG 위의 한 점을 지나므로 0≤n≤3\displaystyle 0\le n\le3, 점 H(a,0)\displaystyle H(a,0)을 지나므로 y=−nax+n\displaystyle y=-\frac nax+n이다.

삼각형 EFG와 직선 l의 교점 X와 Y

l\displaystyle l이 선분 OG\displaystyle OG와 만나는 점을 X\displaystyle X, 변 EF\displaystyle EF와 만나는 점을 Y\displaystyle Y라 하자.변 EF\displaystyle EF가 y=12x−3\displaystyle y=\frac12x-3를 만족하므로, 점 Y\displaystyle Y는 x=2a(n+3)2n+a\displaystyle x=\frac{2a(n+3)}{2n+a}이다.삼각형 XYF\displaystyle XYF의 넓이를 S\displaystyle S라 하자. XF‾=n+3\displaystyle \overline{XF}=n+3이므로 S=12×(n+3)×2a(n+3)2n+a=a(n+3)2a+2n\displaystyle S=\frac12\times(n+3)\times\frac{2a(n+3)}{2n+a}=\frac{a(n+3)^2}{a+2n}이다. 삼각형 EFG\displaystyle EFG의 넓이 18\displaystyle 18에 대한 S\displaystyle S의 비율은 q=a(n+3)218(a+2n)\displaystyle q=\frac{a(n+3)^2}{18(a+2n)}이다.

+6점 · 앞에서 구한 비율 식의 극값을 구할 수 있다.

dqdn=a(n+3)(n+a−3)9(a+2n)2\displaystyle \frac{dq}{dn}=\frac{a(n+3)(n+a-3)}{9(a+2n)^2}이고 dqdn=0\displaystyle \frac{dq}{dn}=0을 풀면 n=−3\displaystyle n=-3 또는 n=3−a\displaystyle n=3-a이다. 0≤n≤3\displaystyle 0\le n\le3이므로 n=−3\displaystyle n=-3은 제외된다. 한편 33−3<3\displaystyle 3\sqrt3-3<3이고 0<a≤33−3\displaystyle 0<a\le3\sqrt3-3이므로, 0<3−a<3\displaystyle 0<3-a<3이다. 그래서 dqdn\displaystyle \frac{dq}{dn}은 n=3−a\displaystyle n=3-a에서만 0\displaystyle 0이다. dqdn\displaystyle \frac{dq}{dn}이 0<n<3−a\displaystyle 0<n<3-a에서 음의 값을 갖고 3−a<n<3\displaystyle 3-a<n<3에서 양의 값을 가지므로, q\displaystyle q는 n=3−a\displaystyle n=3-a에서 최솟값 a(6−a)18\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}를 가지고, n=0\displaystyle n=0 또는 n=3\displaystyle n=3에서 최댓값을 갖는다.

+6점 · 최댓값을 구하기 위해 두 경우로 나누어짐을 안다.

q\displaystyle q의 값이 n=0\displaystyle n=0에서 12\displaystyle \frac12이고 n=3\displaystyle n=3에서 2aa+6\displaystyle \frac{2a}{a+6}이므로 q\displaystyle q의 최댓값은 12\displaystyle \frac12과 2aa+6\displaystyle \frac{2a}{a+6} 중 큰 수이다. f(a)=2aa+6−12\displaystyle f(a)=\frac{2a}{a+6}-\frac12이라 할 때, f′(a)=12(a+6)2>0\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{12}{(a+6)^2}>0이므로 f(a)\displaystyle f(a)는 증가한다. f−1(a)=−12a−62a−3\displaystyle f^{-1}(a)=\frac{-12a-6}{2a-3}이고 f−1(0)=2\displaystyle f^{-1}(0)=2이므로 f(2)=0\displaystyle f(2)=0이다. 그래서 0<a≤2\displaystyle 0<a\le2에서 f(a)≤0\displaystyle f(a)\le0, 즉 2aa+6≤12\displaystyle \frac{2a}{a+6}\le\frac12, 2<a≤33−3\displaystyle 2<a\le3\sqrt3-3에서 f(a)>0\displaystyle f(a)>0, 즉 2aa+6>12\displaystyle \frac{2a}{a+6}>\frac12이다. 이로부터 0<a≤2\displaystyle 0<a\le2와 2<a≤33−3\displaystyle 2<a\le3\sqrt3-3인 두 경우로 나눈다.

+12점 · 각각의 경우 r\displaystyle r의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

(i) 0<a≤2\displaystyle 0<a\le2일 때, 2aa+6≤12\displaystyle \frac{2a}{a+6}\le\frac12이므로 q\displaystyle q는 최댓값 12\displaystyle \frac12, 최솟값 a(6−a)18\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}를 가진다. 이때 비율 q\displaystyle q가 12\displaystyle \frac12보다 작거나 같으므로 삼각형 XYF\displaystyle XYF는 직선 l\displaystyle l에 의하여 나누어지는 두 도형 중 넓이가 더 크지 않은 도형이다. 그래서 T=S\displaystyle T=S, r=q\displaystyle r=q이고, r\displaystyle r의 최댓값은 12\displaystyle \frac12, 최솟값은 a(6−a)18\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}이다.

(ii) 2<a≤33−3\displaystyle 2<a\le3\sqrt3-3일 때, 2aa+6>12\displaystyle \frac{2a}{a+6}>\frac12이므로 q\displaystyle q의 최댓값은 2aa+6\displaystyle \frac{2a}{a+6}, 최솟값은 a(6−a)18\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}이다. 그런데, q>12\displaystyle q>\frac12이면 삼각형 XYF\displaystyle XYF가 넓이가 더 큰 도형이 되어 T=18−S\displaystyle T=18-S, r=1−q\displaystyle r=1-q이다. 따라서 r\displaystyle r는 q>12\displaystyle q>\frac12인지 아닌지에 따라 q\displaystyle q 또는 1−q\displaystyle 1-q가 된다. r\displaystyle r는 넓이가 더 크지 않은 도형의 비율이기에 12\displaystyle \frac12보다 클 수 없고, n=0\displaystyle n=0일 때 q=12\displaystyle q=\frac12, 즉 r=12\displaystyle r=\frac12이므로, r\displaystyle r의 최댓값은 12\displaystyle \frac12이다.r\displaystyle r의 최솟값은 q\displaystyle q와 1−q\displaystyle 1-q의 최솟값 중 작은 값이다. 1−q\displaystyle 1-q의 최솟값은 1\displaystyle 1에서 q\displaystyle q의 최댓값을 뺀 1−2aa+6=6−a6+a\displaystyle 1-\frac{2a}{a+6}=\frac{6-a}{6+a}이고, q\displaystyle q의 최솟값과의 차는 6−a6+a−a(6−a)18=(6−a)(33−3−a)(33+3+a)18(6+a)\displaystyle \frac{6-a}{6+a}-\frac{a(6-a)}{18}=\frac{(6-a)(3\sqrt3-3-a)(3\sqrt3+3+a)}{18(6+a)}이다. 여기서, 33−3−a\displaystyle 3\sqrt3-3-a, 33+3+a\displaystyle 3\sqrt3+3+a, 6−a\displaystyle 6-a, 6+a\displaystyle 6+a 모두 0\displaystyle 0이상이므로, 6−a6+a−a(6−a)18\displaystyle \frac{6-a}{6+a}-\frac{a(6-a)}{18}도 0\displaystyle 0이상이다. 즉 a(6−a)18≤6−a6+a\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}\le\frac{6-a}{6+a}이다. 그래서 r\displaystyle r의 최솟값은 a(6−a)18\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}이다.(i), (ii)에 의하여 r\displaystyle r의 최댓값은 12\displaystyle \frac12, 최솟값은 a(6−a)18\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}이다.

+5점 · r\displaystyle r의 최댓값과 최솟값을 이용하여 r\displaystyle r의 범위를 구할 수 있다.

(2) (1)로부터 r\displaystyle r의 범위는 a(6−a)18≤r≤12\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}\le r\le\frac12이다.

+5점 · 부등식을 풀 수 있다.

만약 13<a(6−a)18\displaystyle \frac13<\frac{a(6-a)}{18}이면 r\displaystyle r의 값은 13\displaystyle \frac13이 될 수 없다. 부등식 13<a(6−a)18\displaystyle \frac13<\frac{a(6-a)}{18}를 풀면 3−3<a\displaystyle 3-\sqrt3<a이다. 따라서 3−3<a≤33−3\displaystyle 3-\sqrt3<a\le3\sqrt3-3일 때, r\displaystyle r의 값이 13\displaystyle \frac13이 될 수 없다.

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