의학계 1번

[논제 I-1](1) 직선 $\displaystyle l:y=2x+n$이 꼭짓점 $\displaystyle A(-1,1)$과 $\displaystyle C(1,-1)$을 지나지 않으며 그 사이에 있을 때 직선 $\displaystyle l$은 정사각형 $\displaystyle ABCD$와 두 개의 점에서 만난다. $\displaystyle A(-1,1)$을 지날 때, $\displaystyle n=3$이고, $\displaystyle C(1,-1)$을 지날 때, $\displaystyle n=-3$이다. $\displaystyle y$절편이 양수이므로, $\displaystyle n$의 범위는 $\displaystyle 0<n<3$.

(2) 직선 $\displaystyle l$의 $\displaystyle y$절편이 양수이므로 직선 $\displaystyle l$이 나누는 두 도형 중 넓이가 더 크지 않은 도형은 직선 $\displaystyle l$의 윗부분에 있는 도형이다. 직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle D(-1,-1)$을 지날 때, 즉 $\displaystyle n=1$일 때, 나누어지는 도형의 모양이 달라지므로, $\displaystyle 0<n<1$, $\displaystyle 1\le n<3$인 두 경우로 나눈다.

(i) $\displaystyle 0<n<1$일 때, $\displaystyle l$이 변 $\displaystyle AB$와 만나는 점을 $\displaystyle A^{\prime}$, 변 $\displaystyle DC$와 만나는 점을 $\displaystyle D^{\prime}$이라 하자. 점 $\displaystyle A^{\prime}$은 $\displaystyle x=\frac{1-n}2$, 점 $\displaystyle D^{\prime}$은 $\displaystyle x=\frac{-1-n}2$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{AA^{\prime}}=\frac{3-n}2$, $\displaystyle \overline{DD^{\prime}}=\frac{1-n}2$이고, 사다리꼴 $\displaystyle AA^{\prime}D^{\prime}D$의 넓이는 $\displaystyle S=\frac12\times2\times\left(\frac{3-n}2+\frac{1-n}2\right)=2-n$이다. 정사각형 $\displaystyle ABCD$의 넓이가 $\displaystyle 4$이므로, $\displaystyle S$의 비율은 $\displaystyle q(n)=\frac{2-n}4$이다.

(ii) $\displaystyle 1\le n<3$일 때, $\displaystyle l$이 변 $\displaystyle AB$와 만나는 점을 $\displaystyle A^{\prime}$, 변 $\displaystyle AD$와 만나는 점을 $\displaystyle D^{\prime}$이라 하자. $\displaystyle \overline{AA^{\prime}}=\frac{3-n}2$, $\displaystyle \overline{AD^{\prime}}=3-n$이고, 삼각형 $\displaystyle AA^{\prime}D^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle S=\frac12\times\left(\frac{3-n}2\right)\times(3-n)=\frac{(3-n)^2}4$, $\displaystyle S$의 비율은 $\displaystyle q(n)=\frac{(3-n)^2}{16}$이다.(i), (ii)에 의하여 $\displaystyle q(n)=\begin{cases}\frac{2-n}4&(0<n<1)\\\frac{(3-n)^2}{16}&(1\le n<3)\end{cases}$

[논제 I-2](1) 직선 $\displaystyle l$의 $\displaystyle y$절편을 $\displaystyle n$이라 하자. 직선 $\displaystyle l$은 선분 $\displaystyle OG$ 위의 한 점을 지나므로 $\displaystyle 0\le n\le3$, 점 $\displaystyle H(a,0)$을 지나므로 $\displaystyle y=-\frac nax+n$이다.

$\displaystyle l$이 선분 $\displaystyle OG$와 만나는 점을 $\displaystyle X$, 변 $\displaystyle EF$와 만나는 점을 $\displaystyle Y$라 하자.변 $\displaystyle EF$가 $\displaystyle y=\frac12x-3$를 만족하므로, 점 $\displaystyle Y$는 $\displaystyle x=\frac{2a(n+3)}{2n+a}$이다.삼각형 $\displaystyle XYF$의 넓이를 $\displaystyle S$라 하자. $\displaystyle \overline{XF}=n+3$이므로 $\displaystyle S=\frac12\times(n+3)\times\frac{2a(n+3)}{2n+a}=\frac{a(n+3)^2}{a+2n}$이다. 삼각형 $\displaystyle EFG$의 넓이 $\displaystyle 18$에 대한 $\displaystyle S$의 비율은 $\displaystyle q=\frac{a(n+3)^2}{18(a+2n)}$이다.

$\displaystyle \frac{dq}{dn}=\frac{a(n+3)(n+a-3)}{9(a+2n)^2}$이고 $\displaystyle \frac{dq}{dn}=0$을 풀면 $\displaystyle n=-3$ 또는 $\displaystyle n=3-a$이다. $\displaystyle 0\le n\le3$이므로 $\displaystyle n=-3$은 제외된다. 한편 $\displaystyle 3\sqrt3-3<3$이고 $\displaystyle 0<a\le3\sqrt3-3$이므로, $\displaystyle 0<3-a<3$이다. 그래서 $\displaystyle \frac{dq}{dn}$은 $\displaystyle n=3-a$에서만 $\displaystyle 0$이다. $\displaystyle \frac{dq}{dn}$이 $\displaystyle 0<n<3-a$에서 음의 값을 갖고 $\displaystyle 3-a<n<3$에서 양의 값을 가지므로, $\displaystyle q$는 $\displaystyle n=3-a$에서 최솟값 $\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}$를 가지고, $\displaystyle n=0$ 또는 $\displaystyle n=3$에서 최댓값을 갖는다.

$\displaystyle q$의 값이 $\displaystyle n=0$에서 $\displaystyle \frac12$이고 $\displaystyle n=3$에서 $\displaystyle \frac{2a}{a+6}$이므로 $\displaystyle q$의 최댓값은 $\displaystyle \frac12$과 $\displaystyle \frac{2a}{a+6}$ 중 큰 수이다. $\displaystyle f(a)=\frac{2a}{a+6}-\frac12$이라 할 때, $\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{12}{(a+6)^2}>0$이므로 $\displaystyle f(a)$는 증가한다. $\displaystyle f^{-1}(a)=\frac{-12a-6}{2a-3}$이고 $\displaystyle f^{-1}(0)=2$이므로 $\displaystyle f(2)=0$이다. 그래서 $\displaystyle 0<a\le2$에서 $\displaystyle f(a)\le0$, 즉 $\displaystyle \frac{2a}{a+6}\le\frac12$, $\displaystyle 2<a\le3\sqrt3-3$에서 $\displaystyle f(a)>0$, 즉 $\displaystyle \frac{2a}{a+6}>\frac12$이다. 이로부터 $\displaystyle 0<a\le2$와 $\displaystyle 2<a\le3\sqrt3-3$인 두 경우로 나눈다.

(i) $\displaystyle 0<a\le2$일 때, $\displaystyle \frac{2a}{a+6}\le\frac12$이므로 $\displaystyle q$는 최댓값 $\displaystyle \frac12$, 최솟값 $\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}$를 가진다. 이때 비율 $\displaystyle q$가 $\displaystyle \frac12$보다 작거나 같으므로 삼각형 $\displaystyle XYF$는 직선 $\displaystyle l$에 의하여 나누어지는 두 도형 중 넓이가 더 크지 않은 도형이다. 그래서 $\displaystyle T=S$, $\displaystyle r=q$이고, $\displaystyle r$의 최댓값은 $\displaystyle \frac12$, 최솟값은 $\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}$이다.

(ii) $\displaystyle 2<a\le3\sqrt3-3$일 때, $\displaystyle \frac{2a}{a+6}>\frac12$이므로 $\displaystyle q$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{2a}{a+6}$, 최솟값은 $\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}$이다. 그런데, $\displaystyle q>\frac12$이면 삼각형 $\displaystyle XYF$가 넓이가 더 큰 도형이 되어 $\displaystyle T=18-S$, $\displaystyle r=1-q$이다. 따라서 $\displaystyle r$는 $\displaystyle q>\frac12$인지 아닌지에 따라 $\displaystyle q$ 또는 $\displaystyle 1-q$가 된다. $\displaystyle r$는 넓이가 더 크지 않은 도형의 비율이기에 $\displaystyle \frac12$보다 클 수 없고, $\displaystyle n=0$일 때 $\displaystyle q=\frac12$, 즉 $\displaystyle r=\frac12$이므로, $\displaystyle r$의 최댓값은 $\displaystyle \frac12$이다.$\displaystyle r$의 최솟값은 $\displaystyle q$와 $\displaystyle 1-q$의 최솟값 중 작은 값이다. $\displaystyle 1-q$의 최솟값은 $\displaystyle 1$에서 $\displaystyle q$의 최댓값을 뺀 $\displaystyle 1-\frac{2a}{a+6}=\frac{6-a}{6+a}$이고, $\displaystyle q$의 최솟값과의 차는 $\displaystyle \frac{6-a}{6+a}-\frac{a(6-a)}{18}=\frac{(6-a)(3\sqrt3-3-a)(3\sqrt3+3+a)}{18(6+a)}$이다. 여기서, $\displaystyle 3\sqrt3-3-a$, $\displaystyle 3\sqrt3+3+a$, $\displaystyle 6-a$, $\displaystyle 6+a$ 모두 $\displaystyle 0$이상이므로, $\displaystyle \frac{6-a}{6+a}-\frac{a(6-a)}{18}$도 $\displaystyle 0$이상이다. 즉 $\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}\le\frac{6-a}{6+a}$이다. 그래서 $\displaystyle r$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}$이다.(i), (ii)에 의하여 $\displaystyle r$의 최댓값은 $\displaystyle \frac12$, 최솟값은 $\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}$이다.

(2) (1)로부터 $\displaystyle r$의 범위는 $\displaystyle \frac{a(6-a)}{18}\le r\le\frac12$이다. 만약 $\displaystyle \frac13<\frac{a(6-a)}{18}$이면 $\displaystyle r$의 값은 $\displaystyle \frac13$이 될 수 없다. 부등식 $\displaystyle \frac13<\frac{a(6-a)}{18}$를 풀면 $\displaystyle 3-\sqrt3<a$이다. 따라서 $\displaystyle 3-\sqrt3<a\le3\sqrt3-3$일 때, $\displaystyle r$의 값이 $\displaystyle \frac13$이 될 수 없다.