의학계 1-(3)~(4)번

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[가] 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A} \left( x_{1} , y_{1} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{B} \left( x_{2} , y_{2} \right)$ 사이의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( x_{2} - x_{1} )^{2} + ( y_{2} - y_{1} )^{2}}$ 이다.

[나] 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( x_{1} , y_{1} \right)$ 과 직선 $\displaystyle a x + b y + c = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{{| a x_{1} + b y_{1} + c |}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ 이다.

[다] 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 에서 $\displaystyle x$ 의 값이 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle a+\Delta x$ 까지 변할 때의 평균변화율 $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 는 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프 위의 두 점 $\displaystyle P(a,f(a)),\ Q(a+\Delta x,f(a+\Delta x))$ 를 지나는 직선 PQ의 기울기와 같다.Correction. 평균변화율의 분자에서 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f(a)$ 이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이때 $\displaystyle \Delta x\to0$ 이면 점 Q는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 를 따라 점 P에 한없이 가까워지고, 직선 PQ는 점 P를 지나는 일정한 직선에 한없이 가까워진다. 이 직선을 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 의 점 P에서의 접선이라고 하고, 점 P를 이 접선의 접점이라고 한다.

[라] 미분가능한 함수 $\displaystyle y = f ( x )$ 에서 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0$ 이고, $\displaystyle x = a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 극대이고, 극댓값 $\displaystyle f ( a )$ 를 가진다. $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 극소이고, 극솟값 $\displaystyle f ( a )$ 를 가진다.

[마] 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x = a$ , $\displaystyle x = b$ 로 둘러싸인 부분의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S = \int_{a}^{b} | f ( x ) | d x$ 이다.

[바] 좌표평면 위에서 $\displaystyle x$ 축의 양의 부분을 시초선으로 하고, 일반각의 크기 $\displaystyle \theta$ 가 나타내는 동경과 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 를 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 원이 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표를 $\displaystyle \left( x , y \right)$ 라고 하면 $\displaystyle \frac{y}{r}$ , $\displaystyle \frac{x}{r}$ , $\displaystyle \frac{y}{x}$ $\displaystyle \left( x \ne 0 \right)$ 의 값은 반지름의 길이 $\displaystyle r$ 에 관계없이 $\displaystyle \theta$ 에 따라 각각 하나씩 결정된다. 즉,

$\displaystyle \theta \to \frac{y}{r}$ , $\displaystyle \theta \to \frac{x}{r}$ , $\displaystyle \theta \to \frac{y}{x}$ $\displaystyle \left( x \ne 0 \right)$

의 대응 관계는 각각 $\displaystyle \theta$ 에 대한 함수이다. 이 함수를 각각 $\displaystyle \theta$ 에 대한 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

$\displaystyle \sin \theta = \frac{y}{r}$ , $\displaystyle \cos \theta = \frac{x}{r}$ , $\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{x}$ $\displaystyle \left( x \ne 0 \right)$

한편 $\displaystyle \sin \theta$ , $\displaystyle \cos \theta$ , $\displaystyle \tan \theta$ 의 역수로 정의한 함수를 차례로 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

$\displaystyle \csc \theta = \frac{r}{y}$ $\displaystyle \left( y \ne 0 \right)$ , $\displaystyle \sec \theta = \frac{r}{x}$ $\displaystyle \left( x \ne 0 \right)$ , $\displaystyle \cot \theta = \frac{x}{y}$ $\displaystyle \left( y \ne 0 \right)$

그림 1: 두 반직선 사이의 선분, 그림 2: 두 반직선에 접하는 포물선

[논제 Ⅰ-3][그림 2]에서 원점 O를 지나는 두 반직선 $\displaystyle \ell_1$ 과 $\displaystyle \ell_2$ 가 $\displaystyle x$ 축과 이루는 각이 각각 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 이다 (단, $\displaystyle \alpha$ 는 양의 $\displaystyle x$ 축으로 부터의 각이고, $\displaystyle \beta$ 는 음의 $\displaystyle x$ 축으로 부터의 각이다. 또한 $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2,\ 0<\beta<\frac\pi2$ 인 상수이다). 이때, 두 반직선 $\displaystyle \ell_1$ 과 $\displaystyle \ell_2$ 에 동시에 접하는 이차함수 $\displaystyle y=g(x)$ 를 찾으려고 한다. $\displaystyle y=g(x)$ 를 $\displaystyle \ell_1$ 과의 접점 A의 $\displaystyle x$ 좌표인 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle \alpha,\beta$ 를 이용하여 표현하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 Ⅰ-4]함수 $\displaystyle y=g(x)$ 는 [논제 Ⅰ-3]에서 구한 이차함수이다. $\displaystyle y=g(x)$ 와 $\displaystyle \ell_2$ 와의 접점을 B라 하고, 점 P는 점 A와 점 B 사이에 있는 $\displaystyle y=g(x)$ 의 그래프위의 점으로써 삼각형 ABP의 넓이를 최대가 되게 하는 점이다. $\displaystyle y=g(x)$ , 선분 OA와 선분 OB에 의해서 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle S_1$ 이라 하고, 삼각형 ABP의 넓이를 $\displaystyle S_2$ 라 할 때, $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$ 을 구하고 그 근거를 논술하시오. (20점)

해설강의 준비중

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+5점 · 접점 B의

\displaystyle x

좌표가

\displaystyle -a

임을 보인다.

[논제 Ⅰ-3] $\displaystyle y=g(x)$ 와 $\displaystyle \ell_2$ 와의 접점을 B라 하자. 선분 OA는 직선 $\displaystyle y=\tan(\alpha)x$ 위에 있고, 선분 OB는 직선 $\displaystyle y=-\tan(\beta)x$ 위에 있다. 접점 A의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle a$ , 접점 B의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle b$ 라 하자. 그리고 이차함수 $\displaystyle y=g(x)$ 의 이차항의 계수를 $\displaystyle c$ 라 하자. 이때, $\displaystyle y=g(x)$ 는 $\displaystyle y=\tan(\alpha)x$ 와 $\displaystyle x=a$ 에서 접하므로 $\displaystyle g(x)-\tan(\alpha)x=c(x-a)^2$ 이 된다. 마찬가지로 $\displaystyle y=g(x)$ 는 $\displaystyle y=-\tan(\beta)x$ 와 $\displaystyle x=b$ 에서 접하므로, $\displaystyle g(x)+\tan(\beta)x=c(x-b)^2$ 이 된다. 위의 두 식으로부터 $\displaystyle g(x)=c(x-a)^2+\tan(\alpha)x=c(x-b)^2-\tan(\beta)x$ 을 얻을 수가 있다. 이때, 양변의 계수를 비교하면, 일차항으로부터 $\displaystyle 2ac-\tan(\alpha)=-2ac+\tan(\beta)$ 를 얻고, 상수항으로부터 $\displaystyle c(a^2-b^2)=0$ 을 얻을 수 있게 된다.

+5점 · 이차항의 계수가

\displaystyle \frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{4a}

임을 보인다.

따라서 $\displaystyle b=-a$ 이고, $\displaystyle c=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{4a}$ 가 됨을 알 수 있다.

+5점 · 구하고자 하는 이차함수가

\displaystyle g(x)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{4a}(x-a)^2+\tan(\alpha)x

임을 보인다.

따라서 구하고자 하는 이차함수는 $\displaystyle g(x)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{4a}(x-a)^2+\tan(\alpha)x$ 이다.

[논제 Ⅰ-4]

+8점 ·

\displaystyle S_1=\frac16(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2

임을 보인다.

점 A와 점 B에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 각각 E와 D라 하자. $\displaystyle y=g(x)$ 와 선분 OA와 선분 OB로 둘러싸인 영역은 오른쪽 그림에서 색칠된 영역이다. 이 영역의 넓이 $\displaystyle S_1$ 을 구하기 위해서는 $\displaystyle -a\le x\le a$ 에서의 $\displaystyle y=g(x)$ 의 그래프와 $\displaystyle x$ 축 사이의 넓이에서 삼각형 OAE와 삼각형 OBD의 넓이를 빼면 된다. 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}S_1&=\int_{-a}^a\left[\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{4a}(x-a)^2+\tan(\alpha)x\right]dx-\frac12a^2\tan(\alpha)-\frac12a^2\tan(\beta)\\&=\frac23(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2-\frac12(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2=\frac16(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2\end{aligned}$ 즉, $\displaystyle S_1=\frac16(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2$ 임을 얻을 수 있다.

+8점 ·

\displaystyle S_2=\frac14(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2

임을 보인다.

한편, 삼각형 ABP의 넓이가 최대가 되는 점 P는 선분 AB와 평행한 $\displaystyle y=g(x)$ 의 접선의 접점이다. 선분 AB의 기울기가 $\displaystyle \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}2$ 이므로, 방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{2a}(x-a)+\tan(\alpha)=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}2$ 를 풀어서 점 P의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle x=0$ 임을 알아낸다.그러면 점 $\displaystyle P\left(0,\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}4a\right)$ 로부터 선분 AB를 지나는 직선 $\displaystyle (\tan(\alpha)-\tan(\beta))x-2y+\tan(\alpha)+\tan(\beta)=0$ 까지의 거리는 $\displaystyle h=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{2\sqrt{4+(\tan(\alpha)-\tan(\beta))^2}}a$ 이 된다.Correction. 직선 $\displaystyle AB$ 의 방정식에서 상수항은 $\displaystyle a(\tan\alpha+\tan\beta)$ 이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 삼각형 ABP는 선분 AB를 밑변으로 $\displaystyle h$ 를 높이로 하는 삼각형이므로, 삼각형 ABP의 최대 넓이는 $\displaystyle S_2=\frac12h\overline{AB}=\frac12\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{2\sqrt{4+(\tan(\alpha)-\tan(\beta))^2}}a\sqrt{4+(\tan(\alpha)-\tan(\beta))^2}\,a=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}4a^2$ 이 된다.

+4점 ·

\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac32

임을 보인다.

따라서 $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac32$ 임을 보일 수 있다.

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