의학계 1번

[논제 Ⅰ-1]$\displaystyle \theta$는 점 B가 점 O에 있을 때, $\displaystyle \theta=-\alpha$로 가장 작으며, 점 A가 점 O에 있을 때, $\displaystyle \theta=\beta$로 가장 크다. 따라서 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle -\alpha\le\theta\le\beta$이다.

오른쪽 그림처럼 A와 B에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 각각 E와 D라 하고, $\displaystyle y=\overline{AE}$와 $\displaystyle z=\overline{BD}$라 하자. 그러면 $\displaystyle \overline{OE}=y\cot(\alpha)$이고 $\displaystyle \overline{OD}=z\cot(\beta)$이기 때문에, $\displaystyle \overline{AC}=4\cos(\theta)=\overline{OE}+\overline{OD}=y\cot(\alpha)+z\cot(\beta)$이 된다. 이 식과 $\displaystyle z=y+4\sin(\theta)$로부터 $\displaystyle y=\frac{4\cos(\theta)-4\cot(\beta)\sin(\theta)}{\cot(\alpha)+\cot(\beta)}$를 얻을 수 있다.

따라서 점 H로부터 $\displaystyle x$축과의 최단거리는$\displaystyle f(\theta)=\frac{y+z}2=4\cos(\theta)+2\frac{\cot(\alpha)-\cot(\beta)}{\cot(\alpha)+\cot(\beta)}\sin(\theta)$Correction. $\displaystyle f(\theta)$의 첫 항 $\displaystyle 4\cos\theta$에는 분모 $\displaystyle \cot\alpha+\cot\beta$가 빠졌다. 채점기준에도 같은 오류가 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 된다.

[논제 Ⅰ-2]$\displaystyle \alpha=\frac\pi4$이고 $\displaystyle \beta=\frac\pi3$이면, $\displaystyle f(\theta)=\frac{4\sqrt3\cos(\theta)+2(\sqrt3-1)\sin(\theta)}{\sqrt3+1}$$\displaystyle f(\theta)$가 최대가 되는 $\displaystyle \theta$를 찾기 위해 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$의 해를 찾아야 한다. 따라서, 방정식$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac{-4\sqrt3\sin(\theta)+2(\sqrt3-1)\cos(\theta)}{\sqrt3+1}=\frac{\cos(\theta)}{\sqrt3+1}(-4\sqrt3\tan(\theta)+2(\sqrt3-1))=0$

로부터 $\displaystyle \tan(\theta)=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt3}$을 만족하는 $\displaystyle \theta$에서 극값을 갖는다는 것을 알 수 있다. $\displaystyle \tan(\theta)$는 증가함수이고 $\displaystyle -1=-\tan(\alpha)<\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt3}<\tan(\beta)=\sqrt3$이어서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$의 해 $\displaystyle \theta_0$는 $\displaystyle \theta$의 범위인 $\displaystyle -\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi3$에 있게 된다.

또한 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\theta_0$의 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌게 되어 $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\theta_0$에서 최댓값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 그러므로 $\displaystyle f(\theta)$가 최대가 되는 $\displaystyle \theta=\theta_0$에서의 $\displaystyle \tan(\theta_0)=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt3}$이 된다.

따라서 선분 AB의 기울기는 $\displaystyle \tan(\pi-\theta_0)=-\tan(\theta_0)=\frac{1-\sqrt3}{2\sqrt3}$이다.

[논제 Ⅰ-3]$\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle \ell_2$와의 접점을 B라 하자. 선분 OA는 직선 $\displaystyle y=\tan(\alpha)x$ 위에 있고, 선분 OB는 직선 $\displaystyle y=-\tan(\beta)x$ 위에 있다. 접점 A의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle a$, 접점 B의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle b$라 하자. 그리고 이차함수 $\displaystyle y=g(x)$의 이차항의 계수를 $\displaystyle c$라 하자. 이때, $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle y=\tan(\alpha)x$와 $\displaystyle x=a$에서 접하므로 $\displaystyle g(x)-\tan(\alpha)x=c(x-a)^2$이 된다. 마찬가지로 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle y=-\tan(\beta)x$와 $\displaystyle x=b$에서 접하므로, $\displaystyle g(x)+\tan(\beta)x=c(x-b)^2$이 된다. 위의 두 식으로부터 $\displaystyle g(x)=c(x-a)^2+\tan(\alpha)x=c(x-b)^2-\tan(\beta)x$을 얻을 수가 있다. 이때, 양변의 계수를 비교하면, 일차항으로부터 $\displaystyle 2ac-\tan(\alpha)=-2ac+\tan(\beta)$를 얻고, 상수항으로부터 $\displaystyle c(a^2-b^2)=0$을 얻을 수 있게 된다.

따라서 $\displaystyle b=-a$이고, $\displaystyle c=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{4a}$가 됨을 알 수 있다.

따라서 구하고자 하는 이차함수는 $\displaystyle g(x)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{4a}(x-a)^2+\tan(\alpha)x$이다.

점 A와 점 B에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 각각 E와 D라 하자. $\displaystyle y=g(x)$와 선분 OA와 선분 OB로 둘러싸인 영역은 오른쪽 그림에서 색칠된 영역이다. 이 영역의 넓이 $\displaystyle S_1$을 구하기 위해서는 $\displaystyle -a\le x\le a$에서의 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축 사이의 넓이에서 삼각형 OAE와 삼각형 OBD의 넓이를 빼면 된다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}S_1&=\int_{-a}^a\left[\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{4a}(x-a)^2+\tan(\alpha)x\right]dx-\frac12a^2\tan(\alpha)-\frac12a^2\tan(\beta)\\&=\frac23(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2-\frac12(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2=\frac16(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2\end{aligned}$즉, $\displaystyle S_1=\frac16(\tan(\alpha)+\tan(\beta))a^2$임을 얻을 수 있다.

한편, 삼각형 ABP의 넓이가 최대가 되는 점 P는 선분 AB와 평행한 $\displaystyle y=g(x)$의 접선의 접점이다. 선분 AB의 기울기가 $\displaystyle \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}2$이므로, 방정식$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{2a}(x-a)+\tan(\alpha)=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}2$를 풀어서 점 P의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle x=0$임을 알아낸다.그러면 점 $\displaystyle P\left(0,\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}4a\right)$로부터 선분 AB를 지나는 직선 $\displaystyle (\tan(\alpha)-\tan(\beta))x-2y+\tan(\alpha)+\tan(\beta)=0$까지의 거리는 $\displaystyle h=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{2\sqrt{4+(\tan(\alpha)-\tan(\beta))^2}}a$이 된다.Correction. 직선 $\displaystyle AB$의 방정식에서 상수항은 $\displaystyle a(\tan\alpha+\tan\beta)$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 삼각형 ABP는 선분 AB를 밑변으로 $\displaystyle h$를 높이로 하는 삼각형이므로, 삼각형 ABP의 최대 넓이는$\displaystyle S_2=\frac12h\overline{AB}=\frac12\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{2\sqrt{4+(\tan(\alpha)-\tan(\beta))^2}}a\sqrt{4+(\tan(\alpha)-\tan(\beta))^2}\,a=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}4a^2$이 된다.

따라서 $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac32$임을 보일 수 있다.