수리논술, 이게 다다.

의학계 1-(3)~(4)번

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경희대 2019학년도 온라인 모의 의학계 1-(3)~(4)번 · mathesis.kr/archive/khu/2019mo_online/uihak_1_3_4

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[가] 구간 α≤x≤β\displaystyle \alpha \le x \le \beta에서 이차함수 f(x)=a(x−p)2+q\displaystyle f ( x ) = a ( x - p )^{2} + q (a>0)\displaystyle ( a > 0 )의 최댓값과 최솟값은 x=p\displaystyle x = p의 위치에 따라 다음과 같이 구할 수 있다.(i) α≤p≤β\displaystyle \alpha \le p \le \beta인 경우, x=α\displaystyle x = \alpha와 x=β\displaystyle x = \beta에서의 함숫값 f(α)\displaystyle f ( \alpha )와 f(β)\displaystyle f ( \beta ) 중 큰 값이 최댓값이고, x=p\displaystyle x = p에서 최솟값 f(p)\displaystyle f ( p )를 가진다.(ii) p<α\displaystyle p < \alpha 또는 p>β\displaystyle p > \beta인 경우, x=α\displaystyle x = \alpha와 x=β\displaystyle x = \beta에서의 함숫값 f(α)\displaystyle f ( \alpha )와 f(β)\displaystyle f ( \beta ) 중 큰 값이 최댓값이고, 작은 값이 최솟값이다.

[나] 원과 직선의 위치 관계는 서로 다른 두 점에서 만나거나, 접하거나, 만나지 않는 세 가지 경우가 있다. 이때 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 길이를 비교하여 위치 관계를 판단할 수 있다.

[다] 미분가능한 함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )에서 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0이고, x=a\displaystyle x = a의 좌우에서 f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x )의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 극대이고, 극댓값 f(a)\displaystyle f ( a )를 가진다. f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x )의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 극소이고, 극솟값 f(a)\displaystyle f ( a )를 가진다.

[라] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 열린 구간 (a,b)\displaystyle ( a , b )에서 미분가능하고 이 구간에 속하는 임의의 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 감소한다.

[마] 좌표평면 위에서 x\displaystyle x축의 양의 부분을 시초선으로하고, 일반각의 크기 θ\displaystyle \theta가 나타내는 동경과 원점 O\displaystyle \mathrm{O}를 중심으로 하고 반지름이 r\displaystyle r인 원이 만나는 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 좌표를 (x,y)\displaystyle ( x , y )라고 하면 yr\displaystyle \frac{y}{r}, xr\displaystyle \frac{x}{r}, yx\displaystyle \frac{y}{x} (x≠0)\displaystyle ( x \ne 0 )의 값은 반지름의 길이 r\displaystyle r에 관계없이 θ\displaystyle \theta에 따라 각각 하나씩 결정된다. 즉,θ→yr\displaystyle \theta \to \frac{y}{r}, θ→xr\displaystyle \theta \to \frac{x}{r}, θ→yx\displaystyle \theta \to \frac{y}{x} (x≠0)\displaystyle ( x \ne 0 )의 대응 관계는 각각 θ\displaystyle \theta에 대한 함수이다. 이 함수를 각각 θ\displaystyle \theta에 대한 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하며, 다음과 같이 나타낸다.sin⁡(θ)=yr\displaystyle \sin ( \theta ) = \frac{y}{r}, cos⁡(θ)=xr\displaystyle \cos ( \theta ) = \frac{x}{r}, tan⁡(θ)=yx\displaystyle \tan ( \theta ) = \frac{y}{x} (x≠0)\displaystyle ( x \ne 0 )한편 sin⁡(θ)\displaystyle \sin ( \theta ), cos⁡(θ)\displaystyle \cos ( \theta ), tan⁡(θ)\displaystyle \tan ( \theta )의 역수로 정의한 함수를 차례로 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라고 하며, 다음과 같이 나타낸다.csc⁡(θ)=ry(y≠0)\displaystyle \csc ( \theta ) = \frac{r}{y}( y \ne 0 ), sec⁡(θ)=rx(x≠0)\displaystyle \sec ( \theta ) = \frac{r}{x}( x \ne 0 ), cot⁡(θ)=xy(y≠0)\displaystyle \cot ( \theta ) = \frac{x}{y}( y \ne 0 )

그림 1: 두 정삼각형, 그림 2: 정삼각형과 원

[논제 Ⅰ] 제시문 [가], [나], [다], [라], [마]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

[논제 Ⅰ-3] 원점 O\displaystyle \mathrm{O}를 무게중심으로 하고 한 변의 길이가 1\displaystyle 1인 정삼각형과 원점 O\displaystyle \mathrm{O}를 중심으로 하고 반지름이 r\displaystyle r인 원이 [그림 2]와 같이 놓여있다. 한 도형(삼각형 또는 원)이 다른 도형(원 또는 삼각형)에 완전히 포함되지 않도록 하는 r\displaystyle r의 범위를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (5점)

[논제 Ⅰ-4] 원점 O\displaystyle \mathrm{O}를 무게중심으로 하고 한 변의 길이가 1\displaystyle 1인 정삼각형과 원점 O\displaystyle \mathrm{O}를 중심으로 하고 반지름이 r\displaystyle r인 원이 [그림 2]와 같이 놓여있다. r>0\displaystyle r > 0인 모든 r\displaystyle r에 대하여 삼각형과 원의 내부 중에서 하나에만 포함되는 영역(색칠된 영역)의 넓이를 S\displaystyle S라 할 때, S\displaystyle S가 최소가 되는 r\displaystyle r값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (25점)

해설강의 준비중

경희대 2019학년도 온라인 모의 의학계 1-(3)~(4)번 · mathesis.kr/archive/khu/2019mo_online/uihak_1_3_4

+5점 · 반지름이 원점과 삼각형의 한 변에 이르는 거리보다 큼을 이용하여 r>36\displaystyle r>\frac{\sqrt3}6를 보인다.

Correction. 채점기준의 총점은 5점(2점+2점+1점)인데, 세부 항목은 각각 5점으로 표기되어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제 Ⅰ-3]원이 삼각형에 포함되지 않기 위해서는 반지름 r\displaystyle r이 원점 O로부터 삼각형의 한 변까지의 거리 d=12cot⁡π3=36\displaystyle d=\frac12\cot\frac\pi3=\frac{\sqrt3}6보다 커야하므로, r>36\displaystyle r>\frac{\sqrt3}6을 만족해야 한다.

+5점 · 반지름이 원점과 삼각형의 한 꼭지점까지의 거리보다 작음을 이용하여 r<33\displaystyle r<\frac{\sqrt3}3을 보인다.

또한 삼각형이 원에 포함되지 않기 위해서는 반지름 r\displaystyle r이 원점 O로부터 삼각형의 한 꼭지점까지의 거리 12sec⁡π6=33\displaystyle \frac12\sec\frac\pi6=\frac{\sqrt3}3보다 작아야하므로 r<33\displaystyle r<\frac{\sqrt3}3를 만족해야 한다.

+5점 · r\displaystyle r의 범위가 36<r<33\displaystyle \frac{\sqrt3}6<r<\frac{\sqrt3}3임을 보인다.

따라서 36<r<33\displaystyle \frac{\sqrt3}6<r<\frac{\sqrt3}3이다.

[논제 Ⅰ-4]

정삼각형과 원에서 하나에만 포함되는 영역
+8점 · 각 AOH를 θ\displaystyle \theta라 하고 S(θ)=3A1+3A2=34−πd2sec⁡2θ+6d2(θsec⁡2θ−tan⁡θ)\displaystyle S(\theta)=3A_1+3A_2=\frac{\sqrt3}4-\pi d^2\sec^2\theta+6d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)를 구한다.

오른쪽 그림에서처럼 원 내부의 색칠된 영역 중에 하나의 영역의 넓이를 A1\displaystyle A_1이라 하고, 삼각형의 내부에 있는 색칠된 영역 중에 하나의 영역의 넓이를 A2\displaystyle A_2하 하자. 그러면 S\displaystyle S는 3×A1\displaystyle 3\times A_1과 3×A2\displaystyle 3\times A_2의 합이다. 우선 A1\displaystyle A_1은 부채꼴 OAB의 넓이와 삼각형 OAB의 넓이의 차이다. 각 AOH를 θ\displaystyle \theta라 하고 색칠된 영역의 넓이를 θ\displaystyle \theta에 관한 함수로 표현해보자.d=12cot⁡π3=36\displaystyle d=\frac12\cot\frac\pi3=\frac{\sqrt3}6이고 r=dsec⁡θ\displaystyle r=d\sec\theta이므로,A1=12⋅r2⋅2θ−12r2sin⁡2θ=d2(θsec⁡2θ−tan⁡θ)\displaystyle A_1=\frac12\cdot r^2\cdot2\theta-\frac12r^2\sin2\theta=d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)이다. A2\displaystyle A_2를 구하기 위해서 원과 삼각형의 공통 영역의 넓이를 Aw\displaystyle A_w라 하자. 그러면 삼각형의 넓이는 3A2+Aw\displaystyle 3A_2+A_w으로 주어지기 때문에 Aw\displaystyle A_w의 값을 찾아야한다. 이때, Aw\displaystyle A_w는 원의 넓이와 3×A1\displaystyle 3\times A_1의 차이므로, Aw=πr2−3A1=πd2sec⁡2θ−3d2(θsec⁡2θ−tan⁡θ)\displaystyle A_w=\pi r^2-3A_1=\pi d^2\sec^2\theta-3d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)이다. 따라서 3A2=34−Aw=34−πd2sec⁡2θ+3d2(θsec⁡2θ−tan⁡θ)\displaystyle 3A_2=\frac{\sqrt3}4-A_w=\frac{\sqrt3}4-\pi d^2\sec^2\theta+3d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)가 된다. 그러므로 색칠된 영역의 넓이 S\displaystyle S를 θ\displaystyle \theta에 관한 함수로 표현하면, S(θ)=3A1+3A2=34−πd2sec⁡2θ+6d2(θsec⁡2θ−tan⁡θ)\displaystyle S(\theta)=3A_1+3A_2=\frac{\sqrt3}4-\pi d^2\sec^2\theta+6d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)이다.

+4점 · S′(θ)=2d2(−π+6θ)sec⁡2θtan⁡θ=0\displaystyle S^{\prime}(\theta)=2d^2(-\pi+6\theta)\sec^2\theta\tan\theta=0의 해 θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6를 찾는다.

한 도형이 다른 도형에 포함되지 않는 조건인 36<r<33\displaystyle \frac{\sqrt3}6<r<\frac{\sqrt3}3, 즉 0<θ<π3\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3에서, 최솟값을 찾기 위해 S′(θ)=2d2(−π+6θ)sec⁡2θtan⁡θ=0\displaystyle S^{\prime}(\theta)=2d^2(-\pi+6\theta)\sec^2\theta\tan\theta=0의 해를 찾는다. 이때의 해는 θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6이고,

+3점 · 0<θ<π6\displaystyle 0<\theta<\frac\pi6이면 S′(θ)<0\displaystyle S^{\prime}(\theta)<0이고 π6<θ<π3\displaystyle \frac\pi6<\theta<\frac\pi3이면 S′(θ)>0\displaystyle S^{\prime}(\theta)>0이어서, S\displaystyle S는 θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6일 때 최소가 된다.

0<θ<π6\displaystyle 0<\theta<\frac\pi6이면 S′(θ)<0\displaystyle S^{\prime}(\theta)<0이고 π6<θ<π3\displaystyle \frac\pi6<\theta<\frac\pi3이면 S′(θ)>0\displaystyle S^{\prime}(\theta)>0이어서, S\displaystyle S는 θ=π6\displaystyle \theta=\frac\pi6일 때 최솟값을 갖는다. 이때의 r\displaystyle r을 구해보면 r=dsec⁡θ=36⋅23=13\displaystyle r=d\sec\theta=\frac{\sqrt3}6\cdot\frac2{\sqrt3}=\frac13이 됨을 알 수 있다.

+3점 · 0<r≤36\displaystyle 0<r\le\frac{\sqrt3}6인 경우, S=34−πr2\displaystyle S=\frac{\sqrt3}4-\pi r^2이고 S\displaystyle S는 r\displaystyle r에 관한 감소함수이다.

한편, 0<r≤36\displaystyle 0<r\le\frac{\sqrt3}6인 경우, 원이 삼각형의 내부에 포함되므로 S=34−πr2\displaystyle S=\frac{\sqrt3}4-\pi r^2이고 S\displaystyle S는 S′(r)<0\displaystyle S^{\prime}(r)<0이어서 r\displaystyle r에 관한 감소함수이다.

+3점 · r≥33\displaystyle r\ge\frac{\sqrt3}3인 경우, S=πr2−34\displaystyle S=\pi r^2-\frac{\sqrt3}4이고, S\displaystyle S는 r\displaystyle r에 관한 증가함수이다.

또한 r≥33\displaystyle r\ge\frac{\sqrt3}3인 경우, 삼각형이 원의 내부에 포함되므로 S=πr2−34\displaystyle S=\pi r^2-\frac{\sqrt3}4이고 S\displaystyle S는 S′(r)>0\displaystyle S^{\prime}(r)>0이어서 r\displaystyle r에 관한 증가함수이다.

+2점 · 0<r<13\displaystyle 0<r<\frac13인 경우에는 S\displaystyle S는 감소함수이고, r>13\displaystyle r>\frac13인 경우는 증가함수임을 파악한다.

S\displaystyle S가 연속함수임을 고려하여 종합하여 보면 0<r<13\displaystyle 0<r<\frac13인 경우에는 S\displaystyle S는 감소함수이고, r>13\displaystyle r>\frac13인 경우는 증가함수이므로

+2점 · S\displaystyle S는 r=13\displaystyle r=\frac13에서 최솟값을 갖는다.

S\displaystyle S의 최솟값은 r=13\displaystyle r=\frac13일 때 나타나게 된다.

[논제 Ⅰ-3] (총 5점 = 2점 + 2점 + 1점)

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