의학계 1번

색칠된 영역은 6개의 정삼각형으로 이루어져 있는데, 대칭성에 의해서 삼각형 ABC의 내부에 있는 3개의 삼각형이 합동을 이루고, 삼각형 DEF의 내부에 있는 3개의 삼각형이 합동을 이룬다. 이때 삼각형 DEF의 내부에 있는 색칠된 정삼각형의 한 변의 길이를 $\displaystyle y$라 하면, 오른쪽 그림에서처럼 삼각형 ABC의 내부에 있는 색칠된 삼각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle x-2y$가 된다.

선분 OA와 선분 EF의 교점을 H라 하면, 선분 OA의 길이에서 $\displaystyle \overline{OA}=\frac{\sqrt3}2\frac23=\overline{AH}+\overline{OH}=(x-2y)\frac{\sqrt3}2+x\frac{\sqrt3}2\frac13$을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle y=\frac13(2x-1)$임을 알 수 있다.

한 정삼각형이 다른 정삼각형에 포함되지 않기 위해서는 $\displaystyle y>0,\ x-2y>0$이어야 하므로, $\displaystyle x$는 두 부등식 $\displaystyle \frac13(2x-1)>0,\ x-\frac23(2x-1)>0$을 만족하여야 한다.

따라서 $\displaystyle \frac12<x<2$임을 알 수 있다.

[논제 Ⅰ-2]$\displaystyle 0<x\le\frac12$일 때는 삼각형 DEF가 삼각형 ABC에 포함되므로, $\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt3}4-\frac{\sqrt3}4x^2$이 된다.

$\displaystyle \frac12<x<2$일 때는, 한 정삼각형이 다른 정삼각형에 완전히 포함이 되지 않아서, 위의 그림처럼 색칠된 영역의 넓이를 찾으면 된다. 따라서 이 경우에는 $\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt3}4(x-2y)^2\times3+\frac{\sqrt3}4y^2\times3=\frac{\sqrt3}{12}(5x^2-8x+5)$이다.

또한 $\displaystyle x\ge2$인 경우는 삼각형 DEF가 삼각형 ABC를 포함하므로 $\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt3}4x^2-\frac{\sqrt3}4$이 된다.

따라서 구하고자 하는 함수 $\displaystyle T(x)$는$\displaystyle T(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt3}4(1-x^2),&0<x\le\frac12\\\frac{\sqrt3}{12}(5x^2-8x+5),&\frac12<x<2\\\frac{\sqrt3}4(x^2-1)&x\ge2\end{cases}$임을 알 수 있다. 구간 $\displaystyle 0<x\le\frac12$에서는 $\displaystyle T^{\prime}(x)<0$이어서 $\displaystyle T(x)$는 감소함수이므로 $\displaystyle x=\frac12$에서 최솟값 $\displaystyle T\left(\frac12\right)=\frac{3\sqrt3}{16}$를 갖고, 구간 $\displaystyle \frac12<x<2$에서는 포물선의 꼭지점의 $\displaystyle x$좌표인 $\displaystyle x=\frac45$에서 최솟값 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{20}$을 갖고, 구간 $\displaystyle x\ge2$에서는 $\displaystyle T^{\prime}(x)>0$이어서 $\displaystyle T(x)$가 증가함수이므로 $\displaystyle x=2$에서 최솟값 $\displaystyle T(2)=\frac{3\sqrt3}4$를 갖는다. 따라서 $\displaystyle x>0$인 모든 $\displaystyle x$에 대해서 함수 $\displaystyle T(x)$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{20}$이 된다.

[논제 Ⅰ-3]원이 삼각형에 포함되지 않기 위해서는 반지름 $\displaystyle r$이 원점 O로부터 삼각형의 한 변까지의 거리 $\displaystyle d=\frac12\cot\frac\pi3=\frac{\sqrt3}6$보다 커야하므로, $\displaystyle r>\frac{\sqrt3}6$을 만족해야 한다.

또한 삼각형이 원에 포함되지 않기 위해서는 반지름 $\displaystyle r$이 원점 O로부터 삼각형의 한 꼭지점까지의 거리 $\displaystyle \frac12\sec\frac\pi6=\frac{\sqrt3}3$보다 작아야하므로 $\displaystyle r<\frac{\sqrt3}3$를 만족해야 한다.

따라서 $\displaystyle \frac{\sqrt3}6<r<\frac{\sqrt3}3$이다.

오른쪽 그림에서처럼 원 내부의 색칠된 영역 중에 하나의 영역의 넓이를 $\displaystyle A_1$이라 하고, 삼각형의 내부에 있는 색칠된 영역 중에 하나의 영역의 넓이를 $\displaystyle A_2$하 하자. 그러면 $\displaystyle S$는 $\displaystyle 3\times A_1$과 $\displaystyle 3\times A_2$의 합이다. 우선 $\displaystyle A_1$은 부채꼴 OAB의 넓이와 삼각형 OAB의 넓이의 차이다. 각 AOH를 $\displaystyle \theta$라 하고 색칠된 영역의 넓이를 $\displaystyle \theta$에 관한 함수로 표현해보자.$\displaystyle d=\frac12\cot\frac\pi3=\frac{\sqrt3}6$이고 $\displaystyle r=d\sec\theta$이므로,$\displaystyle A_1=\frac12\cdot r^2\cdot2\theta-\frac12r^2\sin2\theta=d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)$이다. $\displaystyle A_2$를 구하기 위해서 원과 삼각형의 공통 영역의 넓이를 $\displaystyle A_w$라 하자. 그러면 삼각형의 넓이는 $\displaystyle 3A_2+A_w$으로 주어지기 때문에 $\displaystyle A_w$의 값을 찾아야한다. 이때, $\displaystyle A_w$는 원의 넓이와 $\displaystyle 3\times A_1$의 차이므로, $\displaystyle A_w=\pi r^2-3A_1=\pi d^2\sec^2\theta-3d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)$이다. 따라서 $\displaystyle 3A_2=\frac{\sqrt3}4-A_w=\frac{\sqrt3}4-\pi d^2\sec^2\theta+3d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)$가 된다. 그러므로 색칠된 영역의 넓이 $\displaystyle S$를 $\displaystyle \theta$에 관한 함수로 표현하면, $\displaystyle S(\theta)=3A_1+3A_2=\frac{\sqrt3}4-\pi d^2\sec^2\theta+6d^2(\theta\sec^2\theta-\tan\theta)$이다.

한 도형이 다른 도형에 포함되지 않는 조건인 $\displaystyle \frac{\sqrt3}6<r<\frac{\sqrt3}3$, 즉 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi3$에서, 최솟값을 찾기 위해 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)=2d^2(-\pi+6\theta)\sec^2\theta\tan\theta=0$의 해를 찾는다. 이때의 해는 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$이고,

$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi6$이면 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)<0$이고 $\displaystyle \frac\pi6<\theta<\frac\pi3$이면 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)>0$이어서, $\displaystyle S$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$일 때 최솟값을 갖는다. 이때의 $\displaystyle r$을 구해보면 $\displaystyle r=d\sec\theta=\frac{\sqrt3}6\cdot\frac2{\sqrt3}=\frac13$이 됨을 알 수 있다.

한편, $\displaystyle 0<r\le\frac{\sqrt3}6$인 경우, 원이 삼각형의 내부에 포함되므로 $\displaystyle S=\frac{\sqrt3}4-\pi r^2$이고 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S^{\prime}(r)<0$이어서 $\displaystyle r$에 관한 감소함수이다.

또한 $\displaystyle r\ge\frac{\sqrt3}3$인 경우, 삼각형이 원의 내부에 포함되므로 $\displaystyle S=\pi r^2-\frac{\sqrt3}4$이고 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S^{\prime}(r)>0$이어서 $\displaystyle r$에 관한 증가함수이다.

$\displaystyle S$가 연속함수임을 고려하여 종합하여 보면 $\displaystyle 0<r<\frac13$인 경우에는 $\displaystyle S$는 감소함수이고, $\displaystyle r>\frac13$인 경우는 증가함수이므로

$\displaystyle S$의 최솟값은 $\displaystyle r=\frac13$일 때 나타나게 된다.