사회계 3번

학생들의 수학 성적을 정규분포를 따르는 확률변수 X라고 하자. 그러면 확률변수 X는 정규분포 N(70,10)을 따르므로, $\displaystyle Z=\frac{X-\text{평균}}{\text{표준편차}}$를 이용하여 표준화할 수 있다. 또한 임의선정된 학생이 도시에 거주할 때, 이 학생의 수학 성적이 90점 이상일 확률은 $\displaystyle P(\text{수학성적90이상}\mid\text{도시거주})=\frac{P(\text{성적90이상}\cap\text{도시거주})}{P(\text{도시거주})}$이다.Correction. $\displaystyle N(70,10)$은 $\displaystyle N(70,10^2)$의 오기이다. 정규분포 표기의 두 번째 값은 분산이므로 표준편차 $\displaystyle 10$을 제곱해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

수학 성적 90점을 표준화하면 $\displaystyle Z=\frac{90-70}{10}=2$가 된다. 따라서 수학 성적이 90점 이상일 확률은 $\displaystyle P(X\ge90)=P(Z\ge2)=0.5-P(0\le Z\le2)=0.5-0.48$이다. 그리고 임의선정된 학생이 도시에 거주할 확률은 0.02 X 0.6 + 0.98 X 0.1 = 0.11이다.

다음으로, 수학 성적이 90이상이며 도시에 거주할 확률은 $\displaystyle P(\text{성적90이상}\cap\text{도시거주})$= 0.02 X 0.6 = 0.012이다.

이 수치는 임의로 농촌 지역 학생을 뽑았을 때 수학 성적이 90점 이상일 확률인 5%보다 높다. 따라서 도시 학생의 수학 성적이 농촌 학생의 수학 성적보다 높다고 할 수 있다. 이러한 지역 불평등을 해결하기 위해서는 제시문 [라]에서 주장하는 농어촌특별전형 정책이 필요하다고 할 수 있다.Comment. 앞의 조건에 따르면 같은 지역의 농촌 학생이 수학 성적 90점 이상일 확률은$\displaystyle \frac{0.02\times0.4}{0.02\times0.4+0.98\times0.9}\approx0.009$이므로 약 $\displaystyle 0.9\%$이다. 따라서 뒤에서 제시한 $\displaystyle 5\%$는 앞의 조건과 양립하지 않는다. 별도의 조사 결과를 뜻한 것이라면 조사 대상이나 조건이 다르다는 설명이 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.