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자연계열 (일요일) 1-1번

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경희대 2020학년도 수시 자연계열 (일요일) 1-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2020su/jayeon_sun_1_1

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[가] 이차방정식 ax2+bx+c=0(a≠0)\displaystyle a x^{2} + b x + c = 0 ( a \ne 0 )의 두 근을 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta라고 하면α+β=−ba,αβ=ca\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba,\quad\alpha\beta=\frac ca[나] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 이 구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 이 구간에서 감소한다.[다] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 구간 [a,b]\displaystyle \left[ a , b \right]에서 연속이고, F(x)\displaystyle F ( x )가 f(x)\displaystyle f ( x )의 부정적분이면∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle \int_{a}^{b} {f ( x ) d x = \Biggl[ F ( x ) \Biggr]_{a}^{b} = F ( b ) - F ( a )}[라](1) 두 함수 f(x)\displaystyle f ( x ), g(x)\displaystyle g ( x )가 미분가능하고 g(x)≠0\displaystyle g ( x ) \ne 0일 때,y=f(x)g(x)\displaystyle y = \frac{{f ( x )}}{g ( x )}이면 y′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\displaystyle y^{\prime} = \frac{{{f^{\prime} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g^{\prime} ( x )}}}{\left\{ g ( x ) \right\}^{2}}(2) 두 함수 y=f(u)\displaystyle y = f ( u ), u=g(x)\displaystyle u = g ( x )가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y = f ( g ( x ) )의 도함수는dydx=dydu⋅dudx\displaystyle \frac{{d y}}{d x} = \frac{{d y}}{d u} \cdot \frac{{d u}}{d x}또는 {f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \left\{ f ( g ( x ) ) \right\}^{\prime} = f^{\prime} ( g ( x ) ) g^{\prime} ( x )[마] 미분가능한 함수 t=g(x)\displaystyle t = g ( x )의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime} ( x )가 구간 [a,b]\displaystyle \left[ a , b \right]에서 연속이고, g(a)=α\displaystyle g ( a ) = \alpha, g(b)=β\displaystyle g ( b ) = \beta에 대하여 함수 f(t)\displaystyle f ( t )가 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 양 끝으로 하는 닫힌 구간에서 연속일 때,∫abf(g(x))g′(x)dx=∫αβf(t)dt\displaystyle \int_{a}^{b} {f ( g ( x ) ) g^{\prime} ( x ) d x = \int_{\alpha}^{\beta} {f ( t ) d t}}

[논제 Ⅰ] 제시문 [가] ~ [마]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

a≥1\displaystyle a\ge1이고 0≤θ<π2\displaystyle 0\le\theta<\frac\pi2일 때, 점 P(a,0)\displaystyle P(a,0)을 지나고 x\displaystyle x축의 음의 방향과 이루는 각의 크기가 θ\displaystyle \theta인 직선 l\displaystyle l의 방정식은 y=−tan⁡θ(x−a)\displaystyle y=-\tan\theta(x-a)이다.

그림 1: 정사각형과 직선, 그림 2: 포물선과 직선

[논제 Ⅰ-1][그림 1]과 같이 a>1\displaystyle a>1이고 사각형 R은 꼭짓점이 (1,1), (−1,1), (−1,−1), (1,−1)\displaystyle (1,1),\ (-1,1),\ (-1,-1),\ (1,-1)인 정사각형이다. 직선 l\displaystyle l이 (1,1)\displaystyle (1,1)을 지날 때의 θ\displaystyle \theta를 θ0\displaystyle \theta_0이라 하자. 0≤θ<θ0\displaystyle 0\le\theta<\theta_0일 때, 직선 l\displaystyle l과 정사각형 R은 서로 다른 두 점에서 만나고 이 두 점을 A와 B라 하자. (단, A의 x\displaystyle x좌표가 B의 x\displaystyle x좌표보다 크다.) θ=θ0\displaystyle \theta=\theta_0인 경우 한 점에서 만나므로 점 A와 B 모두 (1,1)\displaystyle (1,1)이라 하자.

(1)직선 l\displaystyle l이 점 (−1,1)\displaystyle ( - 1 , 1 )을 지날 때의 θ\displaystyle \theta를 θ1\displaystyle \theta_{1}이라 하자. tan⁡θ1\displaystyle \tan \theta_{1}을 a\displaystyle a를 이용하여 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (3점)

(2) 0≤θ≤θ0\displaystyle 0 \le \theta \le \theta_{0}에 대하여 PB‾2−PA‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}}^{2} - {\overline{\mathrm{PA}}}^{2}을 θ\displaystyle \theta에 관한 함수 g(θ)\displaystyle g ( \theta )로 나타낼 수 있다. ∫0θ0g(θ)dθ\displaystyle \int_{0}^{\theta_{0}} {g ( \theta ) d \theta}를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2020학년도 수시 자연계열 (일요일) 1-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2020su/jayeon_sun_1_1

+3점 · 점 P와 (−1,0)\displaystyle (-1,0)까지의 거리를 이용하여 tan⁡θ1\displaystyle \tan\theta_1를 구한다.

[논제 Ⅰ-1](1) 점 P와 점 (−1,1)\displaystyle (-1,1)에서 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발 (−1,0)\displaystyle (-1,0)까지 거리가 a+1\displaystyle a+1이므로 tan⁡θ1=1a+1\displaystyle \tan\theta_1=\frac1{a+1}이다.

+9점 · θ\displaystyle \theta의 범위에 따라 점 B의 위치를 고려하여 g(θ)\displaystyle g(\theta)를 구한다.

(2) cos⁡θ=a−1PA‾\displaystyle \cos\theta=\frac{a-1}{\overline{PA}}이므로 PA‾=a−1cos⁡θ\displaystyle \overline{PA}=\frac{a-1}{\cos\theta}이다. 직선 l\displaystyle l이 점 (−1,1)\displaystyle (-1,1)을 지날 때 θ\displaystyle \theta를 θ1\displaystyle \theta_1이라 하자.0≤θ≤θ1\displaystyle 0\le\theta\le\theta_1이면 점 B는 (−1,0)\displaystyle (-1,0)을 지나는 정사각형 R의 변 위에 있고, x\displaystyle x좌표는 −1\displaystyle -1이므로 PB‾=a+1cos⁡θ\displaystyle \overline{PB}=\frac{a+1}{\cos\theta}이다. θ1≤θ≤θ0\displaystyle \theta_1\le\theta\le\theta_0이면 점 B는 (0,1)\displaystyle (0,1)을 지나는 정사각형 R의 변 위에 있고, y\displaystyle y좌표는 1이므로 PB‾=1sin⁡θ\displaystyle \overline{PB}=\frac1{\sin\theta}이다. 따라서g(θ)=PB‾ 2−PA‾ 2={4acos⁡2θ(0≤θ≤θ1)1sin⁡2θ−(a−1)2cos⁡2θ(θ1≤θ≤θ0)\displaystyle g(\theta)=\overline{PB}^{\,2}-\overline{PA}^{\,2}=\begin{cases}\frac{4a}{\cos^2\theta}&(0\le\theta\le\theta_1)\\\frac1{\sin^2\theta}-\frac{(a-1)^2}{\cos^2\theta}&(\theta_1\le\theta\le\theta_0)\end{cases}

+6점 · 제시문 [다]와 [라]를 이용하여 g(θ)\displaystyle g(\theta)를 적분한다.

제시문 [라]를 이용하면 (tan⁡θ)′=1cos⁡2θ, (cot⁡θ)′=−1sin⁡2θ\displaystyle (\tan\theta)^{\prime}=\frac1{\cos^2\theta},\ (\cot\theta)^{\prime}=-\frac1{\sin^2\theta}이고 제시문 [다]를 이용하여 적분하면∫0θ0g(θ)dθ=4a∫0θ11cos⁡2θdθ+∫θ1θ0{1sin⁡2θ−(a−1)2cos⁡2θ}dθ\displaystyle \int_{0}^{\theta_{0}} g ( \theta ) d \theta = 4 a \int_{0}^{\theta_{1}} \frac{1}{\cos^{2} \theta} d \theta + \int_{\theta_{1}}^{\theta_{0}} \left\{ \frac{1}{\sin^{2} \theta} - \frac{{( a - 1 )^{2}}}{\cos^{2} \theta} \right\} d \theta=4atan⁡θ1+(cot⁡θ1−cot⁡θ0)−(a−1)2(tan⁡θ0−tan⁡θ1)\displaystyle = 4 a \tan \theta_{1} + ( \cot \theta_{1} - \cot \theta_{0} ) - ( a - 1 )^{2} ( \tan \theta_{0} - \tan \theta_{1} )tan⁡θ1=1a+1, tan⁡θ0=1a−1\displaystyle \tan\theta_1=\frac1{a+1},\ \tan\theta_0=\frac1{a-1}이므로, 대입하면∫0θ0g(θ) dθ=4aa+1+2−(a−1)2(1a−1−1a+1)=4aa+1+4a+1=4\displaystyle \int_0^{\theta_0}g(\theta)\,d\theta=\frac{4a}{a+1}+2-(a-1)^2\left(\frac1{a-1}-\frac1{a+1}\right)=\frac{4a}{a+1}+\frac4{a+1}=4

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