자연계열 (토요일) 1번

[논제 Ⅰ-1]점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 함수 $\displaystyle f ( x ) = \sqrt{1 - x^{2}}$ $\displaystyle \left( 0 < x < 1 \right)$의 그래프 위의 점이고, $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$이다. 접선 $\displaystyle l$은 기울기가 $\displaystyle f^{\prime} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = - \sqrt{3}$, 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \right)$을 지나는 직선 $\displaystyle y = - \sqrt{3} x + 2$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{{2 \sqrt{3}}}{3} , 0 \right)$이다.

$\displaystyle \triangle \mathrm{CPD}$, $\displaystyle \triangle \mathrm{CQD}$, $\displaystyle \triangle \mathrm{OPD}$를 생각하자. $\displaystyle \triangle \mathrm{CPD}$와 $\displaystyle \triangle \mathrm{CQD}$는 합동인 직각삼각형이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$는 $\displaystyle \angle \mathrm{PDO}$의 이등분선 위에 있다. 직선 $\displaystyle l$의 기울기가 $\displaystyle - \sqrt{3}$이므로, $\displaystyle \triangle \mathrm{OPD}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{PDO} = \frac{\pi}{3}$이고 따라서 $\displaystyle \angle \mathrm{CDQ} = \frac{\pi}{6}$이다. 그러므로 두 점 $\displaystyle \mathrm{C}$와 $\displaystyle \mathrm{D}$를 지나는 직선은 기울기가 $\displaystyle - \tan \frac{\pi}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$, 점 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{{2 \sqrt{3}}}{3} , 0 \right)$을 지나는 직선 $\displaystyle y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2}{3}$이다.

[논제 Ⅰ-2](1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 함수 $\displaystyle f ( x ) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ $\displaystyle \left( 0 < x < r \right)$의 그래프 위의 점이고, $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = - \frac{x}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}}$이므로 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( a , \sqrt{r^{2} - a^{2}} )$ $\displaystyle \left( 0 < a < r \right)$에서 원 $\displaystyle S_{1}$에 접하는 접선 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) = - \frac{a}{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}$이다.따라서 원 $\displaystyle S_{2}$의 중심 $\displaystyle \mathrm{C}$는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 $\displaystyle l$에 수직인 직선 $\displaystyle y = \frac{{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} x$ 위에 있으며, $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}} = \overline{\mathrm{CQ}}$인 점이다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 $\displaystyle \left( x , \frac{{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} x \right)$ $\displaystyle \left( 0 < x < a \right)$라 하면,

$\displaystyle {\overline{\mathrm{CP}}}^{2} = ( x - a )^{2} + \left( \frac{{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} x - \sqrt{r^{2} - a^{2}} \right)^{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CQ}}}^{2} = \frac{{r^{2} - a^{2}}}{a^{2}} x^{2}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{CP}}}^{2} = {\overline{\mathrm{CQ}}}^{2}$이므로 $\displaystyle x^{2} - 2 \frac{r^{2}}{a} x + r^{2} = 0$이고, $\displaystyle x = \frac{{r^{2} + r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{{r^{2} - r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a}$이다. $\displaystyle 0 < x < a$이므로 $\displaystyle x = \frac{{r^{2} - r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a}$이다.따라서 $\displaystyle g ( a ) = \frac{{r^{2} - r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a}$, $\displaystyle h ( a ) = \left( \frac{{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} \right) \left( \frac{{r^{2} - r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} \right)$이다.

(2) 극한값을 구하면$\displaystyle \lim_{a\to0+}g(a)=\lim_{a\to0+}\frac{r^2-r\sqrt{r^2-a^2}}a=\lim_{a\to0+}\frac ra(r-\sqrt{r^2-a^2})=\lim_{a\to0+}\frac ra\frac{a^2}{r+\sqrt{r^2-a^2}}=0$$\displaystyle \lim_{a \to 0 +} h ( a ) = \lim_{a \to 0 +} \frac{{r \sqrt{r^{2} - a^{2}} ( r - \sqrt{r^{2} - a^{2}} )}}{a^{2}}= \lim_{a \to 0 +} \frac{{r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a^{2}} \left( \frac{a^{2}}{r + \sqrt{r^{2} - a^{2}}} \right)= \lim_{a \to 0 +} \frac{{r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{r + \sqrt{r^{2} - a^{2}}} = \frac{r}{2}$$\displaystyle \lim_{a \to r -} g ( a ) = \lim_{a \to r -} \frac{{r^{2} - r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} = r$$\displaystyle \lim_{a \to r -} h ( a ) = \lim_{a \to r -} \frac{{r \sqrt{r^{2} - a^{2}} ( r - \sqrt{r^{2} - a^{2}} )}}{a^{2}} = 0$

[논제 Ⅰ-3][논제 Ⅰ-2] (1)에 의해, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 $\displaystyle \left( x , y \right)$라 하면 $\displaystyle 0 < a < r$인 경우, $\displaystyle x = \frac{{r^{2} - r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a}$이고, 이때 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 0 < x < r$이다. 여기서 $\displaystyle x^{2} - 2 \frac{r^{2}}{a} x + r^{2} = 0$이므로,$\displaystyle a = \frac{{2 r^{2} x}}{r^{2} + x^{2}}$ $\displaystyle \left( 0 < x < r \right)\cdots$①이다. 마찬가지로, [논제 Ⅰ-2] (1)에 의해,$\displaystyle y = \left( \frac{{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} \right) \left( \frac{{r^{2} - r \sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} \right)= \frac{{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}}{a} x\cdots$②이므로 ①, ②에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표 $\displaystyle \left( x , y \right)$는 $\displaystyle 0 < x < r$에서 식 $\displaystyle y = \frac{r^2-x^2}{2r}$을 만족한다.

따라서 영역 $\displaystyle \mathrm{A}$의 넓이는 $\displaystyle \alpha ( r ) = \int_{0}^{r} \frac{r^2-x^2}{2r} d x = \frac{r^{2}}{3}$이다.영역 $\displaystyle \mathrm{A}$의 내부에서 두변이 각각 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 평행한 직사각형의 넓이가 최대가 되는 경우, 직사각형의 두변은 각각 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축 위에 있고, 한 꼭짓점은 점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 그리는 곡선 위에 있다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표가 $\displaystyle \left( x , \frac{r^2-x^2}{2r} \right)$ $\displaystyle \left( 0 < x < r \right)$일 때 직사각형의 넓이를 $\displaystyle f ( x )$라 하면, $\displaystyle f ( x ) = x \times \frac{r^2-x^2}{2r}$이고 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = \frac{r}{2} - \frac{3x^2}{2r}$이다. $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$인 $\displaystyle x = \pm \frac{r}{\sqrt{3}}$에서 $\displaystyle 0 < x < r$인 것은 $\displaystyle x = \frac{r}{\sqrt{3}}$이다. $\displaystyle 0 < x < \frac{r}{\sqrt{3}}$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0$이고, $\displaystyle \frac{r}{\sqrt{3}} < x < r$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0$이므로 제시문 [마]에 의해 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{{\sqrt{3} r}}{3}$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{{\sqrt{3} r^{2}}}{9}$을 가진다. 따라서 $\displaystyle \beta ( r ) = \frac{{\sqrt{3} r^{2}}}{9}$이다.

[논제 Ⅰ-4](1) $\displaystyle 0 < x < r$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( x , \frac{r^2-x^2}{2r} \right)$, $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( a , \sqrt{r^{2} - a^{2}} \right)$, $\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( x , 0 \right)$이고, [논제 Ⅰ-3]의 식 ①로부터 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( \frac{{2 r^{2} x}}{r^{2} + x^{2}} , \frac{{r ( r^{2} - x^{2} )}}{r^{2} + x^{2}} \right)$이다.($\displaystyle \triangle \mathrm{CPQ}$의 넓이)$\displaystyle =$($\displaystyle \triangle \mathrm{OPQ}$의 넓이)$\displaystyle -$($\displaystyle \triangle \mathrm{OCQ}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \times x \times \frac{{r ( r^{2} - x^{2} )}}{r^{2} + x^{2}} - \frac{1}{2} \times x \times \frac{r^2-x^2}{2r}$,따라서 $\displaystyle \triangle \mathrm{CPQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{{x ( r^{2} - x^{2} )^{2}}}{4 r ( r^{2} + x^{2} )}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} = \sqrt{x^{2} + \left( \frac{r^2-x^2}{2r} \right)^{2}} = \frac{r^2+x^2}{2r}$이므로,삼각기둥의 부피는 $\displaystyle \frac{{x ( r^{2} - x^{2} )^{2}}}{4 r ( r^{2} + x^{2} )} \times \frac{r^2+x^2}{2r} = \frac{x(r^2-x^2)^2}{8r^2}$이다.

삼각기둥의 부피를 $\displaystyle f ( x )$라 하면 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = \frac{{( \sqrt{5} x + r ) ( \sqrt{5} x - r ) ( x + r ) ( x - r )}}{8 r^{2}}$이고, $\displaystyle 0 < x < r$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$을 만족하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \frac{r}{\sqrt{5}}$이다. $\displaystyle 0 < x < \frac{r}{\sqrt{5}}$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0$이고, $\displaystyle \frac{r}{\sqrt{5}} < x < r$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0$이므로, 제시문 [마]에 의해 $\displaystyle f ( x ) = \frac{{x ( r^{2} - x^{2} )^{2}}}{8 r^{2}}$는 $\displaystyle x = \frac{r}{\sqrt{5}}$일 때 최대이고, 부피의 최댓값은 $\displaystyle f \left( \frac{r}{\sqrt{5}} \right) = \frac{{2 \sqrt{5} r^{3}}}{125}$이다.

(2) [논제 Ⅰ-4] (1)에 의해, $\displaystyle S ( x ) = \frac{{x ( r^{2} - x^{2} )^{2}}}{4 r ( r^{2} + x^{2} )}$이므로, 제시문 [라]에 의해 입체도형의 부피는 $\displaystyle V ( r ) = \int_{\frac{1}{\sqrt{r}}}^{\sqrt{\frac{2}{r}}} \frac{{x ( r^{2} - x^{2} )^{2}}}{4 r ( r^{2} + x^{2} )} d x$이다. $\displaystyle r^{2} + x^{2} = u$로 놓으면 $\displaystyle \frac{du}{dx} = 2 x$이고 $\displaystyle r^{2} + \frac{1}{r} \le u \le r^{2} + \frac{2}{r}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}V(r)&=\int_{\frac1{\sqrt r}}^{\sqrt{\frac2r}}\frac{x(r^2-x^2)^2}{4r(r^2+x^2)}\,dx=\int_{r^2+\frac1r}^{r^2+\frac2r}\frac{(2r^2-u)^2}{8ru}\,du\\&=\Biggl[\frac{r^3}2\ln u-\frac r2u+\frac{u^2}{16r}\Biggr]_{r^2+\frac1r}^{r^2+\frac2r}\end{aligned}$$\displaystyle = \frac{r^{3}}{2} \ln \left( 1 + \frac{1}{r^{3} + 1} \right) + \frac{3}{16 r^{3}} - \frac{3}{8}$

$\displaystyle t = r^{3} + 1$로 놓으면,$\displaystyle \lim_{r \to \infty} V ( r ) = \lim_{r \to \infty} \left\{ \frac{r^{3}}{2 ( r^{3} + 1 )} \ln \left( 1 + \frac{1}{r^{3} + 1} \right)^{r^{3} + 1} + \frac{3}{16 r^{3}} - \frac{3}{8} \right\}$$\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\left\{\frac{t-1}{2t}\ln\left(1+\frac1t\right)^t+\frac3{16(t-1)}-\frac38\right\}$$\displaystyle = \frac{1}{8}$