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자연계열 (일요일) 1-2번

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경희대 2020학년도 수시 자연계열 (일요일) 1-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2020su/jayeon_sun_1_2

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[가] 이차방정식 ax2+bx+c=0(a≠0)\displaystyle a x^{2} + b x + c = 0 ( a \ne 0 )의 두 근을 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta라고 하면α+β=−ba,αβ=ca\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba,\quad\alpha\beta=\frac ca[나] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 이 구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 이 구간에서 감소한다.[다] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 구간 [a,b]\displaystyle \left[ a , b \right]에서 연속이고, F(x)\displaystyle F ( x )가 f(x)\displaystyle f ( x )의 부정적분이면∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle \int_{a}^{b} {f ( x ) d x = \Biggl[ F ( x ) \Biggr]_{a}^{b} = F ( b ) - F ( a )}[라](1) 두 함수 f(x)\displaystyle f ( x ), g(x)\displaystyle g ( x )가 미분가능하고 g(x)≠0\displaystyle g ( x ) \ne 0일 때,y=f(x)g(x)\displaystyle y = \frac{{f ( x )}}{g ( x )}이면 y′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\displaystyle y^{\prime} = \frac{{{f^{\prime} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g^{\prime} ( x )}}}{\left\{ g ( x ) \right\}^{2}}(2) 두 함수 y=f(u)\displaystyle y = f ( u ), u=g(x)\displaystyle u = g ( x )가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y = f ( g ( x ) )의 도함수는dydx=dydu⋅dudx\displaystyle \frac{{d y}}{d x} = \frac{{d y}}{d u} \cdot \frac{{d u}}{d x}또는 {f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \left\{ f ( g ( x ) ) \right\}^{\prime} = f^{\prime} ( g ( x ) ) g^{\prime} ( x )[마] 미분가능한 함수 t=g(x)\displaystyle t = g ( x )의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime} ( x )가 구간 [a,b]\displaystyle \left[ a , b \right]에서 연속이고, g(a)=α\displaystyle g ( a ) = \alpha, g(b)=β\displaystyle g ( b ) = \beta에 대하여 함수 f(t)\displaystyle f ( t )가 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 양 끝으로 하는 닫힌 구간에서 연속일 때,∫abf(g(x))g′(x)dx=∫αβf(t)dt\displaystyle \int_{a}^{b} {f ( g ( x ) ) g^{\prime} ( x ) d x = \int_{\alpha}^{\beta} {f ( t ) d t}}

[논제 Ⅰ] 제시문 [가] ~ [마]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

a≥1\displaystyle a\ge1이고 0≤θ<π2\displaystyle 0\le\theta<\frac\pi2일 때, 점 P(a,0)\displaystyle P(a,0)을 지나고 x\displaystyle x축의 음의 방향과 이루는 각의 크기가 θ\displaystyle \theta인 직선 l\displaystyle l의 방정식은 y=−tan⁡θ(x−a)\displaystyle y=-\tan\theta(x-a)이다.

그림 1: 정사각형과 직선, 그림 2: 포물선과 직선

Correction. [그림 2]의 O\displaystyle O는 두 좌표축이 만나는 원점에 표시되어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

Correction. [그림 2]의 접선이 x\displaystyle x축의 음의 방향과 이루는 각에 붙인 θ0\displaystyle \theta_0는 본문의 θ2\displaystyle \theta_2를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제 Ⅰ-2][그림 2]와 같이 직선 l\displaystyle l이 곡선 C:y=−2x2+2\displaystyle C : y = - 2 x^{2} + 2에 접하고, 이 접점의 y\displaystyle y좌표가 0\displaystyle 0보다 크거나 같을 때의 θ\displaystyle \theta를 θ2\displaystyle \theta_{2}라 하자. 0≤θ<θ2\displaystyle 0 \le \theta < \theta_{2}일 때, 직선 l\displaystyle l과 곡선 C\displaystyle C는 서로 다른 두 점에서 만나고 이 두 점을 A\displaystyle \mathrm{A}와 B\displaystyle \mathrm{B}라 하자. (단 ,A\displaystyle \mathrm{A}의 x\displaystyle x좌표가 B\displaystyle \mathrm{B}의 x\displaystyle x좌표보다 크다.)

(1) tan⁡θ2\displaystyle \tan \theta_{2}를 a\displaystyle a를 이용하여 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

(2) a=1\displaystyle a = 1이고 0≤θ<θ2\displaystyle 0 \le \theta < \theta_{2}일 때, AB‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}^{2}이 최대가 되는 tan⁡θ\displaystyle \tan \theta와 AB‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}^{2}의 최댓값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

(3) 직선 l\displaystyle l이 점 (0,2)\displaystyle (0,2)를 지날 때의 θ\displaystyle \theta를 θ3\displaystyle \theta_3이라 하자. 0≤θ≤θ3\displaystyle 0\le\theta\le\theta_3에 대하여 A와 B의 중점이 M일 때, 선분 PM과 선분 MB의 길이의 곱 PM‾×MB‾\displaystyle \overline{PM}\times\overline{MB}를 θ\displaystyle \theta에 관한 함수 h(θ)\displaystyle h(\theta)로 나타낼 수 있다. ∫0θ3h(θ) dθ\displaystyle \int_0^{\theta_3}h(\theta)\,d\theta를 a\displaystyle a를 이용하여 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2020학년도 수시 자연계열 (일요일) 1-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2020su/jayeon_sun_1_2

+8점 · 두 식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 이용하여 tan⁡θ2\displaystyle \tan\theta_2가 될 수 있는 값들을 구한다.

[논제 Ⅰ-2](1) y=−tan⁡θ(x−a)\displaystyle y = - \tan \theta ( x - a )를 y=−2x2+2\displaystyle y = - 2 x^{2} + 2에 대입하면 x\displaystyle x에 관한 이차방정식 2x2−xtan⁡θ+atan⁡θ−2=0\displaystyle 2 x^{2} - x \tan \theta + a \tan \theta - 2 = 0을 얻는다. θ=θ2\displaystyle \theta = \theta_{2}일 때 직선 l\displaystyle l이 곡선 C\displaystyle C에 접하려면 2x2−xtan⁡θ2+atan⁡θ2−2=0\displaystyle 2 x^{2} - x \tan \theta_{2} + a \tan \theta_{2} - 2 = 0은 중근을 갖고, 판별식에 의해tan⁡2θ2−8atan⁡θ2+16={tan⁡θ2−4(a−a2−1)}{tan⁡θ2−4(a+a2−1)}=0\displaystyle \tan^{2} \theta_{2} - 8 a \tan \theta_{2} + 16 = \left\{ \tan \theta_{2} - 4 ( a - \sqrt{a^{2} - 1} ) \right\} \left\{ \tan \theta_{2} - 4 ( a + \sqrt{a^{2} - 1} ) \right\} = 0

+4점 · 접점의 위치를 고려하여 tan⁡θ2\displaystyle \tan\theta_2를 결정한다.

a>1\displaystyle a>1인 경우, tan⁡θ=4(a−a2−1)\displaystyle \tan\theta=4(a-\sqrt{a^2-1})일 때 접점의 y\displaystyle y좌표는 4(a−a2−1)a2−1>0\displaystyle 4(a-\sqrt{a^2-1})\sqrt{a^2-1}>0이고 tan⁡θ=4(a+a2−1)\displaystyle \tan\theta=4(a+\sqrt{a^2-1})일 때 접점의 y\displaystyle y좌표는 −4(a+a2−1)a2−1<0\displaystyle -4(a+\sqrt{a^2-1})\sqrt{a^2-1}<0이다. a=1\displaystyle a=1인 경우, tan⁡θ2=4\displaystyle \tan\theta_2=4이고 접점의 y\displaystyle y좌표는 0이다. 따라서 tan⁡θ2=4(a−a2−1)\displaystyle \tan\theta_2=4(a-\sqrt{a^2-1})이다.

+7점 · 제시문 [가]를 이용하여 AB‾ 2\displaystyle \overline{AB}^{\,2}를 tan⁡θ\displaystyle \tan\theta로 나타낸다.

(2) y=−tan⁡θ(x−1)\displaystyle y = - \tan \theta ( x - 1 )를 y=−2x2+2\displaystyle y = - 2 x^{2} + 2에 대입하여 얻은 x\displaystyle x에 관한 이차방정식 2x2−xtan⁡θ+tan⁡θ−2=0\displaystyle 2 x^{2} - x \tan \theta + \tan \theta - 2 = 0의 두 근을 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta (α>β)\displaystyle \left( \alpha > \beta \right)라 하면, 점 A\displaystyle \mathrm{A}의 x\displaystyle x좌표는 α\displaystyle \alpha이고 점 B\displaystyle \mathrm{B}의 x\displaystyle x좌표는 β\displaystyle \beta이다. 따라서, 제시문 [가]를 이용하면AB‾2=(α−β)2cos⁡2θ=(α+β)2−4αβcos⁡2θ=(tan⁡2θ−8tan⁡θ+16)(1+tan⁡2θ)4=(tan⁡θ−4)2(1+tan⁡2θ)4\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}^{2} = \frac{{( \alpha - \beta )^{2}}}{\cos^{2} \theta} = \frac{{( \alpha + \beta )^{2} - 4 \alpha \beta}}{\cos^{2} \theta}= \frac{{( \tan^{2} \theta - 8 \tan \theta + 16 ) ( 1 + \tan^{2} \theta )}}{4}= \frac{{( \tan \theta - 4 )^{2} ( 1 + \tan^{2} \theta )}}{4}

+8점 · 치환을 통해 AB‾ 2\displaystyle \overline{AB}^{\,2}를 간단히 나타내고 제시문 [나]를 이용하여 최솟값을 구한다.

Correction. ‘최솟값’은 ‘최댓값’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

tan⁡θ\displaystyle \tan \theta는 0≤θ<π2\displaystyle 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}에서 연속이고 증가함수이므로 [논제 Ⅰ-2] (1)번에 의해, 0≤θ<θ2\displaystyle 0 \le \theta < \theta_{2}일 때 0≤tan⁡θ<4\displaystyle 0 \le \tan \theta < 4이다. tan⁡θ=t\displaystyle \tan \theta = t로 놓으면, 0≤t<4\displaystyle 0 \le t < 4이고 AB‾2=14(t−4)2(1+t2)\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}^{2} = \frac{1}{4} ( t - 4 )^{2} ( 1 + t^{2} )이다.f(t)=14(t−4)2(1+t2)\displaystyle f ( t ) = \frac{1}{4} ( t - 4 )^{2} ( 1 + t^{2} )라 하면, f′(t)=(t−4)(t−2−22)(t−2+22)\displaystyle f^{\prime} ( t ) = ( t - 4 ) \left( t - \frac{{2 - \sqrt{2}}}{2} \right) \left( t - \frac{{2 + \sqrt{2}}}{2} \right)이고 제시문 [나]를 이용하여 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

tt0⋯2−22\frac{2-\sqrt2}{2}⋯2+22\frac{2+\sqrt2}{2}⋯4
f′(t)f^{\prime}(t)−−0+0− 
f(t)f(t)4↘71−8216\frac{71-8\sqrt2}{16}↗71+8216\frac{71+8\sqrt2}{16}↘ 

따라서 t=tan⁡θ=2+22\displaystyle t=\tan\theta=\frac{2+\sqrt2}2일 때, 최댓값은 71+8216=7116+22\displaystyle \frac{71+8\sqrt2}{16}=\frac{71}{16}+\frac{\sqrt2}2이다.

+9점 · 제시문 [가]를 이용하여 h(θ)\displaystyle h(\theta)를 구한다.

(3) 세 점 P, A, B가 직선 l\displaystyle l위에 있고 M은 A와 B의 중점이므로, 네 점 P, A, B, M 모두 직선 l\displaystyle l위에 있다. MB‾=MA‾\displaystyle \overline{MB}=\overline{MA}이고 PB‾>PA‾\displaystyle \overline{PB}>\overline{PA}이기 때문에 PM‾=PB‾−MB‾=PA‾+MB‾\displaystyle \overline{PM}=\overline{PB}-\overline{MB}=\overline{PA}+\overline{MB}이다. 따라서 PM‾=PB‾+PA‾2, MB‾=PB‾−PA‾2\displaystyle \overline{PM}=\frac{\overline{PB}+\overline{PA}}2,\ \overline{MB}=\frac{\overline{PB}-\overline{PA}}2이고 PM‾×MB‾=PB‾+PA‾2×PB‾−PA‾2=14(PB‾ 2−PA‾ 2)\displaystyle \overline{PM}\times\overline{MB}=\frac{\overline{PB}+\overline{PA}}2\times\frac{\overline{PB}-\overline{PA}}2=\frac14(\overline{PB}^{\,2}-\overline{PA}^{\,2})이다.y=−tan⁡θ(x−a)\displaystyle y = - \tan \theta ( x - a )를 y=−2x2+2\displaystyle y = - 2 x^{2} + 2에 대입하여 얻은 x\displaystyle x에 관한 이차방정식 2x2−xtan⁡θ+atan⁡θ−2=0\displaystyle 2 x^{2} - x \tan \theta + a \tan \theta - 2 = 0의 두 근을 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta (α>β)\displaystyle \left( \alpha > \beta \right)라 하면 점 A\displaystyle \mathrm{A}의 x\displaystyle x좌표는 α\displaystyle \alpha이고 점 B\displaystyle \mathrm{B}의 x\displaystyle x좌표는 β\displaystyle \beta이다. 제시문 [가]를 이용하면h(θ)=14((a−β)2cos⁡2θ−(a−α)2cos⁡2θ)=(α−β)(2a−α−β)4cos⁡2θ=tan⁡2θ−8atan⁡θ+16(4a−tan⁡θ)16cos⁡2θ\displaystyle h ( \theta ) = \frac{1}{4} \left( \frac{{( a - \beta )^{2}}}{\cos^{2} \theta} - \frac{{( a - \alpha )^{2}}}{\cos^{2} \theta} \right)= \frac{{( \alpha - \beta ) ( 2 a - \alpha - \beta )}}{4 \cos^{2} \theta}= \frac{{\sqrt{\tan^{2} \theta - 8 a \tan \theta + 16} ( 4 a - \tan \theta )}}{16 \cos^{2} \theta}

+6점 · 제시문 [나]를 이용하여 h(θ)\displaystyle h(\theta)를 적분한다.

Correction. 제시문 [나]는 함수의 증가와 감소에 관한 내용이다. h(θ)\displaystyle h(\theta)의 적분에는 제시문 [다], [라], [마]를 이용한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

∫0θ3h(θ)dθ=116∫0θ3tan⁡2θ−8atan⁡θ+16(4a−tan⁡θ)cos⁡2θdθ\displaystyle \int_{0}^{\theta_{3}} h ( \theta ) d \theta = \frac{1}{16} \int_{0}^{\theta_{3}} \frac{{\sqrt{\tan^{2} \theta - 8 a \tan \theta + 16} ( 4 a - \tan \theta )}}{\cos^{2} \theta} d \thetaθ=θ3\displaystyle \theta=\theta_3일 때, 직선 l\displaystyle l이 (0,2)\displaystyle (0,2)를 지나므로 tan⁡θ3=2a\displaystyle \tan\theta_3=\frac2a이다. u=tan⁡2θ−8atan⁡θ+16\displaystyle u=\tan^2\theta-8a\tan\theta+16이라 하면, dudθ=2tan⁡θ−8acos⁡2θ\displaystyle \frac{du}{d\theta}=\frac{2\tan\theta-8a}{\cos^2\theta}이고 θ=0\displaystyle \theta=0일 때 u=16\displaystyle u=16, θ=θ3\displaystyle \theta=\theta_3일 때 u=4a2\displaystyle u=\frac4{a^2}이다. 제시문 [마]와 [라]를 이용하면, ∫0θ3h(θ) dθ=−132∫164a2u du=43−16a3\displaystyle \int_0^{\theta_3}h(\theta)\,d\theta=-\frac1{32}\int_{16}^{\frac4{a^2}}\sqrt u\,du=\frac43-\frac1{6a^3}이다.

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