자연계열 (일요일) 1번

[논제 Ⅰ-1](1) 점 P와 점 $\displaystyle (-1,1)$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발 $\displaystyle (-1,0)$까지 거리가 $\displaystyle a+1$이므로 $\displaystyle \tan\theta_1=\frac1{a+1}$이다.

(2) $\displaystyle \cos\theta=\frac{a-1}{\overline{PA}}$이므로 $\displaystyle \overline{PA}=\frac{a-1}{\cos\theta}$이다. 직선 $\displaystyle l$이 점 $\displaystyle (-1,1)$을 지날 때 $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle \theta_1$이라 하자.$\displaystyle 0\le\theta\le\theta_1$이면 점 B는 $\displaystyle (-1,0)$을 지나는 정사각형 R의 변 위에 있고, $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -1$이므로 $\displaystyle \overline{PB}=\frac{a+1}{\cos\theta}$이다. $\displaystyle \theta_1\le\theta\le\theta_0$이면 점 B는 $\displaystyle (0,1)$을 지나는 정사각형 R의 변 위에 있고, $\displaystyle y$좌표는 1이므로 $\displaystyle \overline{PB}=\frac1{\sin\theta}$이다. 따라서$\displaystyle g(\theta)=\overline{PB}^{\,2}-\overline{PA}^{\,2}=\begin{cases}\frac{4a}{\cos^2\theta}&(0\le\theta\le\theta_1)\\\frac1{\sin^2\theta}-\frac{(a-1)^2}{\cos^2\theta}&(\theta_1\le\theta\le\theta_0)\end{cases}$

제시문 [라]를 이용하면 $\displaystyle (\tan\theta)^{\prime}=\frac1{\cos^2\theta},\ (\cot\theta)^{\prime}=-\frac1{\sin^2\theta}$이고 제시문 [다]를 이용하여 적분하면$\displaystyle \int_{0}^{\theta_{0}} g ( \theta ) d \theta = 4 a \int_{0}^{\theta_{1}} \frac{1}{\cos^{2} \theta} d \theta + \int_{\theta_{1}}^{\theta_{0}} \left\{ \frac{1}{\sin^{2} \theta} - \frac{{( a - 1 )^{2}}}{\cos^{2} \theta} \right\} d \theta$$\displaystyle = 4 a \tan \theta_{1} + ( \cot \theta_{1} - \cot \theta_{0} ) - ( a - 1 )^{2} ( \tan \theta_{0} - \tan \theta_{1} )$$\displaystyle \tan\theta_1=\frac1{a+1},\ \tan\theta_0=\frac1{a-1}$이므로, 대입하면$\displaystyle \int_0^{\theta_0}g(\theta)\,d\theta=\frac{4a}{a+1}+2-(a-1)^2\left(\frac1{a-1}-\frac1{a+1}\right)=\frac{4a}{a+1}+\frac4{a+1}=4$

[논제 Ⅰ-2](1) $\displaystyle y = - \tan \theta ( x - a )$를 $\displaystyle y = - 2 x^{2} + 2$에 대입하면 $\displaystyle x$에 관한 이차방정식 $\displaystyle 2 x^{2} - x \tan \theta + a \tan \theta - 2 = 0$을 얻는다. $\displaystyle \theta = \theta_{2}$일 때 직선 $\displaystyle l$이 곡선 $\displaystyle C$에 접하려면 $\displaystyle 2 x^{2} - x \tan \theta_{2} + a \tan \theta_{2} - 2 = 0$은 중근을 갖고, 판별식에 의해$\displaystyle \tan^{2} \theta_{2} - 8 a \tan \theta_{2} + 16 = \left\{ \tan \theta_{2} - 4 ( a - \sqrt{a^{2} - 1} ) \right\} \left\{ \tan \theta_{2} - 4 ( a + \sqrt{a^{2} - 1} ) \right\} = 0$

$\displaystyle a>1$인 경우, $\displaystyle \tan\theta=4(a-\sqrt{a^2-1})$일 때 접점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 4(a-\sqrt{a^2-1})\sqrt{a^2-1}>0$이고 $\displaystyle \tan\theta=4(a+\sqrt{a^2-1})$일 때 접점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle -4(a+\sqrt{a^2-1})\sqrt{a^2-1}<0$이다. $\displaystyle a=1$인 경우, $\displaystyle \tan\theta_2=4$이고 접점의 $\displaystyle y$좌표는 0이다. 따라서 $\displaystyle \tan\theta_2=4(a-\sqrt{a^2-1})$이다.

(2) $\displaystyle y = - \tan \theta ( x - 1 )$를 $\displaystyle y = - 2 x^{2} + 2$에 대입하여 얻은 $\displaystyle x$에 관한 이차방정식 $\displaystyle 2 x^{2} - x \tan \theta + \tan \theta - 2 = 0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \left( \alpha > \beta \right)$라 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \alpha$이고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \beta$이다. 따라서, 제시문 [가]를 이용하면$\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}^{2} = \frac{{( \alpha - \beta )^{2}}}{\cos^{2} \theta} = \frac{{( \alpha + \beta )^{2} - 4 \alpha \beta}}{\cos^{2} \theta}= \frac{{( \tan^{2} \theta - 8 \tan \theta + 16 ) ( 1 + \tan^{2} \theta )}}{4}= \frac{{( \tan \theta - 4 )^{2} ( 1 + \tan^{2} \theta )}}{4}$

$\displaystyle \tan \theta$는 $\displaystyle 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$에서 연속이고 증가함수이므로 [논제 Ⅰ-2] (1)번에 의해, $\displaystyle 0 \le \theta < \theta_{2}$일 때 $\displaystyle 0 \le \tan \theta < 4$이다. $\displaystyle \tan \theta = t$로 놓으면, $\displaystyle 0 \le t < 4$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}^{2} = \frac{1}{4} ( t - 4 )^{2} ( 1 + t^{2} )$이다.$\displaystyle f ( t ) = \frac{1}{4} ( t - 4 )^{2} ( 1 + t^{2} )$라 하면, $\displaystyle f^{\prime} ( t ) = ( t - 4 ) \left( t - \frac{{2 - \sqrt{2}}}{2} \right) \left( t - \frac{{2 + \sqrt{2}}}{2} \right)$이고 제시문 [나]를 이용하여 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle t=\tan\theta=\frac{2+\sqrt2}2$일 때, 최댓값은 $\displaystyle \frac{71+8\sqrt2}{16}=\frac{71}{16}+\frac{\sqrt2}2$이다.

(3) 세 점 P, A, B가 직선 $\displaystyle l$위에 있고 M은 A와 B의 중점이므로, 네 점 P, A, B, M 모두 직선 $\displaystyle l$위에 있다. $\displaystyle \overline{MB}=\overline{MA}$이고 $\displaystyle \overline{PB}>\overline{PA}$이기 때문에 $\displaystyle \overline{PM}=\overline{PB}-\overline{MB}=\overline{PA}+\overline{MB}$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{PM}=\frac{\overline{PB}+\overline{PA}}2,\ \overline{MB}=\frac{\overline{PB}-\overline{PA}}2$이고 $\displaystyle \overline{PM}\times\overline{MB}=\frac{\overline{PB}+\overline{PA}}2\times\frac{\overline{PB}-\overline{PA}}2=\frac14(\overline{PB}^{\,2}-\overline{PA}^{\,2})$이다.$\displaystyle y = - \tan \theta ( x - a )$를 $\displaystyle y = - 2 x^{2} + 2$에 대입하여 얻은 $\displaystyle x$에 관한 이차방정식 $\displaystyle 2 x^{2} - x \tan \theta + a \tan \theta - 2 = 0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \left( \alpha > \beta \right)$라 하면 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \alpha$이고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \beta$이다. 제시문 [가]를 이용하면$\displaystyle h ( \theta ) = \frac{1}{4} \left( \frac{{( a - \beta )^{2}}}{\cos^{2} \theta} - \frac{{( a - \alpha )^{2}}}{\cos^{2} \theta} \right)= \frac{{( \alpha - \beta ) ( 2 a - \alpha - \beta )}}{4 \cos^{2} \theta}= \frac{{\sqrt{\tan^{2} \theta - 8 a \tan \theta + 16} ( 4 a - \tan \theta )}}{16 \cos^{2} \theta}$

$\displaystyle \int_{0}^{\theta_{3}} h ( \theta ) d \theta = \frac{1}{16} \int_{0}^{\theta_{3}} \frac{{\sqrt{\tan^{2} \theta - 8 a \tan \theta + 16} ( 4 a - \tan \theta )}}{\cos^{2} \theta} d \theta$$\displaystyle \theta=\theta_3$일 때, 직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle (0,2)$를 지나므로 $\displaystyle \tan\theta_3=\frac2a$이다. $\displaystyle u=\tan^2\theta-8a\tan\theta+16$이라 하면, $\displaystyle \frac{du}{d\theta}=\frac{2\tan\theta-8a}{\cos^2\theta}$이고 $\displaystyle \theta=0$일 때 $\displaystyle u=16$, $\displaystyle \theta=\theta_3$일 때 $\displaystyle u=\frac4{a^2}$이다. 제시문 [마]와 [라]를 이용하면, $\displaystyle \int_0^{\theta_3}h(\theta)\,d\theta=-\frac1{32}\int_{16}^{\frac4{a^2}}\sqrt u\,du=\frac43-\frac1{6a^3}$이다.