의학계 1번

[논제 Ⅰ-1](1) 두 원이 접하는 점을 $\displaystyle \mathrm{E}$라 하면, 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$와 점 $\displaystyle \mathrm{E}$가 한 직선 위에 있다.$\displaystyle \overline{\mathrm{CE}} = t$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = 1 - t$이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}^{2} = {\overline{\mathrm{OC}}}^{2} - {\overline{\mathrm{OA}}}^{2} = ( 1 - t )^{2} - t^{2} = 1 - 2 t$이다.$\displaystyle \overline{DQ}=\overline{AQ}-\overline{AC}-\overline{CD}$이므로, $\displaystyle f(t)=\sqrt{1-t^2}-\sqrt{1-2t}-t$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to0+}\frac{f(t)}{t^3}&=\lim_{t\to0+}\frac{\sqrt{1-t^2}-(\sqrt{1-2t}+t)}{t^3}=\lim_{t\to0+}\frac{-2(t-1+\sqrt{1-2t})}{t^2(\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-2t}+t)}\\&=\lim_{t\to0+}\frac{-2}{(\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-2t}+t)(t-1-\sqrt{1-2t})}=\frac12\end{aligned}$

(2) $\displaystyle t$가 최대가 되려면 이웃하는 원들끼리 접해야 한다. 따라서 $\displaystyle N$개의 원들의 지름의 합은 $\displaystyle 2Nt$가 되는데, 이는 $\displaystyle \overline{PQ}-2\overline{DQ}$와 같아야 한다. 즉, $\displaystyle \overline{PQ}-2\overline{DQ}=2Nt$를 만족한다. $\displaystyle \overline{PQ}=2\sqrt{1-t^2}$이고, [논제 Ⅰ-1](1)번의 풀이에서 $\displaystyle \overline{DQ}=\sqrt{1-t^2}-\sqrt{1-2t}-t$이므로, $\displaystyle \sqrt{1-2t}+t=Nt$가 된다.

$\displaystyle \sqrt{1-2t}=(N-1)t$에서 양변을 제곱하여 정리하면, $\displaystyle (N-1)^2t^2+2t-1=0$이고 $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle t=\frac{-1+\sqrt{1+(N-1)^2}}{(N-1)^2}$이다.

[논제 Ⅰ-2](1) $\displaystyle \left( 0 , \frac{k}{n} \right)$를 점 $\displaystyle {\mathrm{A}}_{k}$라 하자. 선분 $\displaystyle {\mathrm{P}}_{k} {\mathrm{Q}}_{k}$에 중심이 있고 반지름이 $\displaystyle \frac{1}{n}$인 원들 중에서 가장 오른쪽에 있는 원을 $\displaystyle S_{2}$라 하고, 원 $\displaystyle S_{2}$가 원 $\displaystyle S$와 접한다고 하자. 원 $\displaystyle S_{2}$의 중심을 $\displaystyle \mathrm{C}$라 하고, 선분 $\displaystyle {\mathrm{CQ}}_{k}$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}$라 하면,$\displaystyle \overline{A_kC}^{\,2}=\overline{OC}^{\,2}-\overline{OA_k}^{\,2}=\left(1-\frac1n\right)^2-\left(\frac kn\right)^2=\frac{(n-1)^2-k^2}{n^2}$이므로, $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}}_{k} {\mathrm{C}}} = \frac{{\sqrt{( n - 1 )^{2} - k^{2}}}}{n}$이다. 따라서 선분 $\displaystyle {\mathrm{P}}_{k} {\mathrm{Q}}_{k}$에 중심이 있는 원들이 움직일 수 있는 선분의 길이는 $\displaystyle 2 \overline{{\mathrm{A}}_{k} {\mathrm{D}}} = 2 \left( \overline{{\mathrm{A}}_{k} {\mathrm{C}}} + \frac{1}{n} \right)$이므로, $\displaystyle \frac{2}{n}$로 나누면, $\displaystyle \sqrt{( n - 1 )^{2} - k^{2}} + 1$이 되기 때문에, $\displaystyle a_{k}$는 $\displaystyle \sqrt{( n - 1 )^{2} - k^{2}} + 1$보다 작거나 같고, $\displaystyle \sqrt{( n - 1 )^{2} - k^{2}}$보다 큰 자연수이다.

$\displaystyle k = n - 4$이면, $\displaystyle \sqrt{( n - 1 )^{2} - ( n - 4 )^{2}} = \sqrt{6 n - 15}$이므로, $\displaystyle \sqrt{6 n - 15}$가 $\displaystyle 8$보다 작은 자연수 $\displaystyle n$을 구하면 된다. $\displaystyle g ( x ) = \sqrt{6 x - 15}$라 하면, $\displaystyle g ( x )$는 증가함수이고, $\displaystyle g \left( \frac{79}{6} \right) = 8$이므로, $\displaystyle n < \frac{79}{6}$이다. $\displaystyle n$은 자연수이기 때문에, 가장 큰 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 13$이 된다.

(2) 이웃하는 모든 원들이 한 점에서 만나면, [논제 Ⅰ-2] (1)에서 얻은 $\displaystyle \sqrt{( n - 1 )^{2} - k^{2}} + 1$이 자연수이다.

즉, $\displaystyle n = 11$이면, $\displaystyle \sqrt{10^{2} - k^{2}} + 1$가 자연수가 되는 정수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$, $\displaystyle 6$ 또는 $\displaystyle 8$에서 자연수가 되고, 각각 그 때의 원들의 개수는 $\displaystyle 11$개, $\displaystyle 9$개, $\displaystyle 7$개가 된다.

(3) 모든 원의 크기가 같기 때문에 선택한 원을 평행이동하여 $\displaystyle x^2+\left(y-\frac{n-m}{n}\right)^2=\frac1{n^2}$라 할 수 있다. $\displaystyle (x,0)$으로부터 $\displaystyle y$축에 평행한 직선을 그렸을 때, $\displaystyle y$좌표가 더 큰 점까지의 거리는 $\displaystyle \frac{n-m}{n}+\sqrt{\frac1{n^2}-x^2}$이므로, $\displaystyle A(x)$는 $\displaystyle \left(\frac{n-m}{n}+\sqrt{\frac1{n^2}-x^2}\right)^2$가 된다. 닫힌 구간 $\displaystyle \left[p,\frac{p+3q}{4}\right]$를 위와 같이 평행이동하면 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle \left[-\frac1n,\frac1{2n}\right]$가 된다. 따라서 입체도형의 부피 $\displaystyle V_n$은

$\displaystyle \begin{aligned}V_n&=\int_{-\frac1n}^{\frac1{2n}}\left(\frac{n-m}{n}+\sqrt{\frac1{n^2}-x^2}\right)^2\,dx=\int_{-\frac1n}^{\frac1{2n}}\left(\frac{(n-m)^2+1}{n^2}-x^2+\frac{2(n-m)}n\sqrt{\frac1{n^2}-x^2}\right)dx\\&=\frac{12(n-m)^2+9}{8n^3}+\frac{2(n-m)}n\int_{-\frac1n}^{\frac1{2n}}\sqrt{\frac1{n^2}-x^2}\,dx\end{aligned}$이다.여기에서 적분값 $\displaystyle \int_{-\frac1n}^{\frac1{2n}}\sqrt{\frac1{n^2}-x^2}\,dx$은 반원 $\displaystyle y=\sqrt{\frac1{n^2}-x^2}$과 $\displaystyle x$축, $\displaystyle x=\frac1{2n}$로 둘러싸인 영역의 넓이와 같다. 이는 부채꼴과 직각삼각형의 넓이의 합으로 계산하면 된다.중심각이 $\displaystyle \frac{2\pi}3$인 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\frac1{n^2}\times\frac{2\pi}3=\frac\pi{3n^2}$이고, 직각삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\frac1{2n}\times\sqrt{\frac1{n^2}-\frac1{4n^2}}=\frac{\sqrt3}{8n^2}$이므로 $\displaystyle \int_{-\frac1n}^{\frac1{2n}}\sqrt{\frac1{n^2}-x^2}\,dx=\frac\pi{3n^2}+\frac{\sqrt3}{8n^2}=\frac{8\pi+3\sqrt3}{24n^2}$이다.따라서 $\displaystyle V_n=\frac{12(n-m)^2+9}{8n^3}+\frac{2(8\pi+3\sqrt3)(n-m)}{24n^3}=\frac3{2n}+\frac\alpha{n^2}+\frac\beta{n^3}$로 놓으면 상수 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \alpha=\frac{-36m+(8\pi+3\sqrt3)}{12}$이고, $\displaystyle \beta=\frac{36m^2-2m(8\pi+3\sqrt3)+27}{24}$이다.

[논제 Ⅰ-2](1)번에서 $\displaystyle \sqrt{(m-1)(2n-m-1)}<a_{n-m}\le\sqrt{(m-1)(2n-m-1)}+1$이므로,$\displaystyle \sqrt n\sqrt{(m-1)(2n-m-1)}V_n<\sqrt n a_{n-m}V_n\le\sqrt n(\sqrt{(m-1)(2n-m-1)}+1)V_n$이다.$\displaystyle b_n=\sqrt n\sqrt{(m-1)(2n-m-1)}V_n$이고, $\displaystyle c_n=\sqrt n\sqrt{(m-1)(2n-m-1)}V_n+\sqrt nV_n$이라 하면,$\displaystyle b_n<\sqrt n a_{n-m}V_n\le c_n$ …… ①$\displaystyle b_n=\sqrt{m-1}\sqrt n\sqrt{2n-m-1}\left(\frac3{2n}+\frac\alpha{n^2}+\frac\beta{n^3}\right)=\sqrt{m-1}\sqrt{2-\frac{m+1}n}\left(\frac32+\frac\alpha n+\frac\beta{n^2}\right)$가 되어,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac32\sqrt{2(m-1)}$ …… ②$\displaystyle c_n=b_n+\sqrt nV_n$이 되는데, $\displaystyle \sqrt nV_n=\sqrt n\left(\frac3{2n}+\frac\alpha{n^2}+\frac\beta{n^3}\right)$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt nV_n=0$이다.따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\frac32\sqrt{2(m-1)}$ …… ③제시문 [다]와 ①, ②, ③으로부터 수열 $\displaystyle \left\{\sqrt n a_{n-m}V_n\right\}$은 수렴하고, 극한값은 $\displaystyle \frac32\sqrt{2(m-1)}$이다.