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의학계 1번

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경희대 2021학년도 모의 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2021mo/uihak_1

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[가] 두 변수 x,y\displaystyle x,y 사이의 관계를 변수 t\displaystyle t를 매개로 하여 {x=f(t)y=g(t)\displaystyle \begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}의 꼴로 나타낼 때, 변수 t\displaystyle t를 매개변수라고 하며, 이 함수를 매개변수로 나타낸 함수라고 한다.[나] 매개변수로 나타낸 두 함수 x=f(t)\displaystyle x=f(t)와 y=g(t)\displaystyle y=g(t)가 t\displaystyle t에 대하여 미분가능하고 f′(t)≠0\displaystyle f^{\prime}(t)\ne0이면, dydx=dydtdxdt=g′(t)f′(t)\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}이다.[다] 두 함수 f(x),g(x) (g(x)≠0)\displaystyle f(x),g(x)\ (g(x)\ne0)가 미분가능할 때,y=1g(x)\displaystyle y=\frac1{g(x)}이면 y′=−g′(x)g(x)2\displaystyle y^{\prime}=-\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)^2}이고, y=f(x)g(x)\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}이면 y′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\displaystyle y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{g(x)^2}이다.[라] 삼각함수의 덧셈정리sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\quad\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\quad\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\betatan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β,tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},\quad\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}[마] 삼각형 ABC\displaystyle ABC의 넓이를 S\displaystyle S라고 하면, S=12AB‾ AC‾sin⁡A=12BA‾ BC‾sin⁡B=12CA‾ CB‾sin⁡C\displaystyle S=\frac12\overline{AB}\,\overline{AC}\sin A=\frac12\overline{BA}\,\overline{BC}\sin B=\frac12\overline{CA}\,\overline{CB}\sin C이다.[바] 두 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}과 {bn}\displaystyle \{b_n\}이 수렴하고, lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta (α,β\displaystyle \alpha,\beta는 실수) 일 때, 1) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤bn\displaystyle a_n\le b_n이면 α≤β\displaystyle \alpha\le\beta이다. 2) 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이고 α=β\displaystyle \alpha=\beta이면, 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}은 수렴하고, lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha이다.[사] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때. ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x (단, Δx=b−an, xk=a+kΔx\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n},\ x_k=a+k\Delta x) 이다.

그림 1, 2, 3: 단위원의 매개변수와 삼각형

[논제 I-1] 실수 t\displaystyle t가 0≤t≤1\displaystyle 0\le t\le1을 만족한다고 하자. [그림 1]과 같이 좌표평면 위의 점 P(−1,0)\displaystyle P(-1,0)과 점 (0,t)\displaystyle (0,t)를 지나는 직선이 원점을 중심으로 갖는 단위원과 만나는 다른 한 점을 Q\displaystyle Q라고 하자. 이때 점 Q\displaystyle Q의 x\displaystyle x좌표와 y\displaystyle y좌표를 각각 t\displaystyle t에 관한 식으로 나타내시오. (10점)

[논제 I-2] [논제 I-1]의 점 Q\displaystyle Q에서 원의 접선의 방정식을 구하시오. (10점)

[논제 I-3] [그림 2]와 같이 t1<t2\displaystyle t_1<t_2일 때, 각 ∠OPQ1\displaystyle \angle OPQ_1을 θ1\displaystyle \theta_1, ∠OPQ2\displaystyle \angle OPQ_2를 θ2\displaystyle \theta_2라고 하자. 이때 sin⁡(θ2−θ1)\displaystyle \sin(\theta_2-\theta_1)을 t1\displaystyle t_1과 t2\displaystyle t_2에 관한 식으로 나타내시오. (10점)

[논제 I-4] 주어진 자연수 n\displaystyle n과 0≤k≤n\displaystyle 0\le k\le n인 정수 k\displaystyle k에 대하여 tk=kn\displaystyle t_k=\frac{k}{n}라고 하자. 각각의 tk\displaystyle t_k마다 [논제 1-1]과 같은 방법으로 얻어지는 원 위의 점을 Qk\displaystyle Q_k라고 하자. [그림 3]의 삼각형 PQkQk+1\displaystyle PQ_kQ_{k+1}의 넓이 ak\displaystyle a_k를 구하시오. Sn\displaystyle S_n을 ∑k=0n−1ak\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}a_k라고 할 때, 극한값 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n을 추측하고, 그 근거를 논하시오 (15점).

[논제 I-5] 정적분 ∫012 dx(x2+1)2\displaystyle \int_0^1\frac{2\,dx}{(x^2+1)^2}을 급수의 합 lim⁡n→∞Tn\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n으로 표현하시오. 이때 수열 Tn\displaystyle T_n과 [논제 I-4]의 수열 Sn\displaystyle S_n의 차이를 구하고, 그 차이의 극한값 lim⁡n→∞(Tn−Sn)\displaystyle \lim_{n\to\infty}(T_n-S_n)을 구하시오. 이를 통해 정적분 ∫012 dx(x2+1)2\displaystyle \int_0^1\frac{2\,dx}{(x^2+1)^2}의 값에 대하여 알 수 있는 사실을 논하시오 (15점).

해설강의 준비중

경희대 2021학년도 모의 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2021mo/uihak_1

[논제 I-1] 점 P(−1,0)\displaystyle P(-1,0)와 점 (0,t)\displaystyle (0,t)를 지나는 직선의 방정식은 y=t(x+1)\displaystyle y=t(x+1)이므로, 단위원의 방정식 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1에 y\displaystyle y 대신 t(x+1)\displaystyle t(x+1)을 대입하면, x2+t2(x+1)2=1\displaystyle x^2+t^2(x+1)^2=1을 얻는다. 이차방정식의 근의 공식에 의해 x=−1\displaystyle x=-1 또는 x=1−t21+t2\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2}을 얻는다. 이 때, Q\displaystyle Q는 P\displaystyle P가 아닌 원 위의 점이므로, x=1−t21+t2\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2}가 원하는 해가 된다. 다시 y2=1−x2\displaystyle y^2=1-x^2이므로, y2=4t2(1+t2)2\displaystyle y^2=\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}을 얻고, t\displaystyle t가 음이 아닌 실수이므로, y=2t1+t2\displaystyle y=\frac{2t}{1+t^2}이 된다.

[논제 I-2] 함수의 몫의 미분법으로부터 dxdt=−4t(1+t2)2\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{-4t}{(1+t^2)^2}이고, dydt=2−2t2(1+t2)2\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}을 얻는다. 이제 매개변수로 나타낸 함수의 미분법으로부터, dydx=dydt/dxdt=t2−12t\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\frac{t^2-1}{2t}가 된다. 따라서 접선의 방정식은 y=(t2−12t)(x−1−t21+t2)+2t1+t2\displaystyle y=\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)\left(x-\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)+\frac{2t}{1+t^2}이 된다.Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 y\displaystyle y축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: t=0\displaystyle t=0이면 Q=(1,0)\displaystyle Q=(1,0)에서의 접선은 수직선 x=1\displaystyle x=1이다. 따라서 기울기 t2−12t\displaystyle \frac{t^2-1}{2t}를 쓰는 계산은 t>0\displaystyle t>0에서 적용하고, t=0\displaystyle t=0의 접선 x=1\displaystyle x=1을 답에 함께 포함해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제 I-3] 각 ∠OPQ1\displaystyle \angle OPQ_1과 ∠OPQ2\displaystyle \angle OPQ_2를 각각 θ1\displaystyle \theta_1과 θ2\displaystyle \theta_2라고 하자. 그러면 tan⁡θ1=t1\displaystyle \tan\theta_1=t_1이고 tan⁡θ2=t2\displaystyle \tan\theta_2=t_2이다. 삼각함수의 덧셈정리에 의해 tan⁡(θ2−θ1)=t2−t11+t2t1\displaystyle \tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{t_2-t_1}{1+t_2t_1}이 된다. θ2−θ1\displaystyle \theta_2-\theta_1이 0\displaystyle 0과 π2\displaystyle \frac\pi2 사이에 있으므로, sin⁡(θ2−θ1)=tan⁡(θ2−θ1)1+tan⁡(θ2−θ1)\displaystyle \sin(\theta_2-\theta_1)=\frac{\tan(\theta_2-\theta_1)}{\sqrt{1+\tan(\theta_2-\theta_1)}}이고, 이를 정리하면 sin⁡(θ2−θ1)=t2−t1(t22+1)(t12+1)\displaystyle \sin(\theta_2-\theta_1)=\frac{t_2-t_1}{\sqrt{(t_2^2+1)(t_1^2+1)}}을 얻는다.Correction. 1+tan⁡(θ2−θ1)\displaystyle \sqrt{1+\tan(\theta_2-\theta_1)}는 1+tan⁡2(θ2−θ1)\displaystyle \sqrt{1+\tan^2(\theta_2-\theta_1)}의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제 I-4] 삼각형의 넓이 공식에 의하여 ΔPQk+1Qk\displaystyle \Delta PQ_{k+1}Q_k의 넓이는 12PQk+1‾ PQk‾sin⁡(θ2−θ1)\displaystyle \frac12\overline{PQ_{k+1}}\,\overline{PQ_k}\sin(\theta_2-\theta_1)이 된다. PQk+1‾=2tk+12+1\displaystyle \overline{PQ_{k+1}}=\frac2{\sqrt{t_{k+1}^2+1}}이고 PQk‾=2tk2+1\displaystyle \overline{PQ_k}=\frac2{\sqrt{t_k^2+1}}이므로, 원하는 넓이는 ak=2(tk+1−tk)(tk+12+1)(tk2+1)=2n((k+1n)2+1)((kn)2+1)\displaystyle a_k=\frac{2(t_{k+1}-t_k)}{(t_{k+1}^2+1)(t_k^2+1)}=\frac{\frac2n}{\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)}이 된다. 따라서 Sn=∑k=0n−12n((k+1n)2+1)((kn)2+1)\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac2n}{\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)}이다. 이때 Sn\displaystyle S_n은 삼각형 PQk+1Qk\displaystyle PQ_{k+1}Q_k들의 넓이를 모두 합한 값이고, 이 삼각형들로 이루어진 영역은 점 O,P\displaystyle O,P 그리고 (0,1)\displaystyle (0,1)로 이루어진 직각이등변삼각형과 1사분면에 속하는 원의 부분으로 이루어진 영역에 속하게 된다. n\displaystyle n이 커짐에 따라 삼각형 PQk+1Qk\displaystyle PQ_{k+1}Q_k들로 이루어진 영역이 점점 넓어지면서, 직각이등변삼각형과 사분원으로 이루어진 영역에 매우 가까워지므로, lim⁡n→∞Sn=12+π4\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac12+\frac\pi4가 될 것이다.

[논제 1-5] 함수 f(x)=2(x2+1)2\displaystyle f(x)=\frac2{(x^2+1)^2}은 닫힌구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 연속이므로. 정적분 ∫012 dx(x2+1)2\displaystyle \int_0^1\frac{2\,dx}{(x^2+1)^2}은 lim⁡n→∞∑k=0n−1f(xk)Δx=lim⁡n→∞∑k=0n−12n((kn)2+1)2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac2n}{\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)^2}이 된다. 이제 Tn=∑k=0n−12n((kn)2+1)2\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac2n}{\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)^2}이라고 하면,Tn−Sn=2n∑k=0n−1((k+1n)2+1)−((kn)2+1)((kn)2+1)2((k+1n)2+1)=2n∑k=0n−12k+1n2((kn)2+1)2((k+1n)2+1)≤2n3∑k=0n−1(2k+1)\displaystyle T_n-S_n=\frac2n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)-\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)}{\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)^2\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)}=\frac2n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac{2k+1}{n^2}}{\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)^2\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)}\le\frac2{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)이고 lim⁡n→∞2n3∑k=0n−12k+1=lim⁡n→∞2n3(n2)=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac2{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}2k+1=\lim_{n\to\infty}\frac2{n^3}(n^2)=0이므로 lim⁡n→∞(Tn−Sn)=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}(T_n-S_n)=0을 얻는다.Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 이 문제에서는 2k+1\displaystyle 2k+1 전체를 더하므로 ∑k=0n−1(2k+1)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)로 쓴다.이제 [논제 I-4]에서 추측한 것과 합하면 ∫012 dx(x2+1)2=lim⁡n→∞Tn=lim⁡n→∞Sn=12+π4\displaystyle \int_0^1\frac{2\,dx}{(x^2+1)^2}=\lim_{n\to\infty}T_n=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac12+\frac\pi4를 얻는다.

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