의학계 1번

[논제 I-1] 점 $\displaystyle P(-1,0)$와 점 $\displaystyle (0,t)$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=t(x+1)$이므로, 단위원의 방정식 $\displaystyle x^2+y^2=1$에 $\displaystyle y$ 대신 $\displaystyle t(x+1)$을 대입하면, $\displaystyle x^2+t^2(x+1)^2=1$을 얻는다. 이차방정식의 근의 공식에 의해 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$을 얻는다. 이 때, $\displaystyle Q$는 $\displaystyle P$가 아닌 원 위의 점이므로, $\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$가 원하는 해가 된다. 다시 $\displaystyle y^2=1-x^2$이므로, $\displaystyle y^2=\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}$을 얻고, $\displaystyle t$가 음이 아닌 실수이므로, $\displaystyle y=\frac{2t}{1+t^2}$이 된다.

[논제 I-2] 함수의 몫의 미분법으로부터 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{-4t}{(1+t^2)^2}$이고, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}$을 얻는다. 이제 매개변수로 나타낸 함수의 미분법으로부터, $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\frac{t^2-1}{2t}$가 된다. 따라서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)\left(x-\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)+\frac{2t}{1+t^2}$이 된다.Comment. $\displaystyle t=0$일 때는 $\displaystyle Q=(1,0)$이므로 접선은 $\displaystyle x=1$이다. 제시한 접선의 식은 $\displaystyle t>0$일 때만 성립한다.

[논제 I-3] 각 $\displaystyle \angle OPQ_1$과 $\displaystyle \angle OPQ_2$를 각각 $\displaystyle \theta_1$과 $\displaystyle \theta_2$라고 하자. 그러면 $\displaystyle \tan\theta_1=t_1$이고 $\displaystyle \tan\theta_2=t_2$이다. 삼각함수의 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{t_2-t_1}{1+t_2t_1}$이 된다. $\displaystyle \theta_2-\theta_1$이 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle \frac\pi2$ 사이에 있으므로, $\displaystyle \sin(\theta_2-\theta_1)=\frac{\tan(\theta_2-\theta_1)}{\sqrt{1+\tan(\theta_2-\theta_1)}}$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle \sin(\theta_2-\theta_1)=\frac{t_2-t_1}{\sqrt{(t_2^2+1)(t_1^2+1)}}$을 얻는다.Correction. $\displaystyle \sqrt{1+\tan(\theta_2-\theta_1)}$는 $\displaystyle \sqrt{1+\tan^2(\theta_2-\theta_1)}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제 I-4] 삼각형의 넓이 공식에 의하여 $\displaystyle \Delta PQ_{k+1}Q_k$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\overline{PQ_{k+1}}\,\overline{PQ_k}\sin(\theta_2-\theta_1)$이 된다. $\displaystyle \overline{PQ_{k+1}}=\frac2{\sqrt{t_{k+1}^2+1}}$이고 $\displaystyle \overline{PQ_k}=\frac2{\sqrt{t_k^2+1}}$이므로, 원하는 넓이는 $\displaystyle a_k=\frac{2(t_{k+1}-t_k)}{(t_{k+1}^2+1)(t_k^2+1)}=\frac{\frac2n}{\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)}$이 된다. 따라서 $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac2n}{\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)}$이다. 이때 $\displaystyle S_n$은 삼각형 $\displaystyle PQ_{k+1}Q_k$들의 넓이를 모두 합한 값이고, 이 삼각형들로 이루어진 영역은 점 $\displaystyle O,P$ 그리고 $\displaystyle (0,1)$로 이루어진 직각이등변삼각형과 1사분면에 속하는 원의 부분으로 이루어진 영역에 속하게 된다. $\displaystyle n$이 커짐에 따라 삼각형 $\displaystyle PQ_{k+1}Q_k$들로 이루어진 영역이 점점 넓어지면서, 직각이등변삼각형과 사분원으로 이루어진 영역에 매우 가까워지므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac12+\frac\pi4$가 될 것이다.

[논제 1-5] 함수 $\displaystyle f(x)=\frac2{(x^2+1)^2}$은 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이므로. 정적분 $\displaystyle \int_0^1\frac{2\,dx}{(x^2+1)^2}$은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac2n}{\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)^2}$이 된다. 이제 $\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac2n}{\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)^2}$이라고 하면,$\displaystyle T_n-S_n=\frac2n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)-\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)}{\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)^2\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)}=\frac2n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac{2k+1}{n^2}}{\left(\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right)^2\left(\left(\frac{k+1}{n}\right)^2+1\right)}\le\frac2{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac2{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}2k+1=\lim_{n\to\infty}\frac2{n^3}(n^2)=0$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(T_n-S_n)=0$을 얻는다.Correction. 합의 항이 $\displaystyle 2k+1$임을 분명히 하려면 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)$로 괄호를 묶어야 한다.이제 [논제 I-4]에서 추측한 것과 합하면 $\displaystyle \int_0^1\frac{2\,dx}{(x^2+1)^2}=\lim_{n\to\infty}T_n=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac12+\frac\pi4$를 얻는다.