수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 (토요일) 1-1번

경희대 2021학년도 수시 자연계열 (토요일) 1-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2021su/jayeon_sat_1_1

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[가] 점 (x1,y1)\displaystyle ( x_{1} , y_{1} )을 지나고 기울기가 m\displaystyle m인 직선의 방정식은y−y1=m(x−x1)\displaystyle y - y_{1} = m ( x - x_{1} )[나] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 임의의 세 실수 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때,∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx\displaystyle \int_{a}^{c} f ( x ) d x + \int_{c}^{b} f ( x ) d x = \int_{a}^{b} f ( x ) d x[다] 삼각함수의 도함수(sin⁡x)′=cos⁡x\displaystyle ( \sin x )^{\prime} = \cos x, (cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle ( \cos x )^{\prime} = - \sin x, (tan⁡x)′=sec⁡2x\displaystyle ( \tan x )^{\prime} = \sec^{2} x(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x\displaystyle ( \csc x )^{\prime} = - \csc x \cot x, (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x\displaystyle ( \sec x )^{\prime} = \sec x \tan x, (cot⁡x)′=−csc⁡2x\displaystyle ( \cot x )^{\prime} = - \csc^{2} x[라] 삼각함수의 덧셈정리(1) sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta(2) cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta(3) tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan ( \alpha + \beta )=\frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{1 - \tan \alpha \tan \beta}, tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan ( \alpha - \beta ) =\frac{{\tan \alpha - \tan \beta}}{1 + \tan \alpha \tan \beta}[마] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 실수 x1\displaystyle x_{1}, x2\displaystyle x_{2}에 대하여 x1<x2\displaystyle x_{1} < x_{2}일 때 f(x1)<f(x2)\displaystyle f ( x_{1} ) < f ( x_{2} )이면 함수 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 증가한다고 한다. 또, x1<x2\displaystyle x_{1} < x_{2}일 때 f(x1)>f(x2)\displaystyle f ( x_{1} ) > f ( x_{2} )이면 함수 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 감소한다고 한다. 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 그 열린구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 열린구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 열린구간에서 감소한다.

[논제 I] 제시문 [가]~[마]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

그림 1: 직사각형과 두 원, 그림 2: 정사각형과 원의 접선

[논제 I-1] [그림 1]과 같이 직사각형 ABCD의 내부에 원 S1\displaystyle S_{1}과 원 S2\displaystyle S_{2}가 있다. 원 S1\displaystyle S_{1}은 선분 AB와 BC에 동시에 접하고 원 S2\displaystyle S_{2}는 선분 CD와 AD에 동시에 접하며, 원 S1\displaystyle S_{1}과 원 S2\displaystyle S_{2}는 한 점 T에서 만난다. 점 T를 지나고 선분 AD에 평행한 직선이 원 S1\displaystyle S_{1}, 원 S2\displaystyle S_{2}와 만나는 T가 아닌 점들을 각각 E, F라 하자. 선분 AB의 길이가 100이고 선분 EF의 길이가 120일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 직사각형 ABCD의 넓이를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

(2) 두 원의 넓이의 합의 최댓값과 최솟값을 구하시오. 이때 두 원의 반지름의 길이를 각각 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

논술 직선에 접하는 원의 배치

관련 개념강의 준비중

경희대 2021학년도 수시 자연계열 (토요일) 1-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2021su/jayeon_sat_1_1

+8점 · 사각형의 변의 길이와 선분 EF의 길이 그리고 두 원의 반지름의 합 사이의 관계식을 논리적으로 제시한다.

[논제 I-1] (1)오른쪽 그림처럼 원 S1\displaystyle S_1과 원 S2\displaystyle S_2의 중심을 각각 O1\displaystyle O_1과 O2\displaystyle O_2라 하고, 점 T를 지나고 선분 AB에 평행한 직선이 원 S1\displaystyle S_1과 S2\displaystyle S_2와 만나는 점을 각각 G와 H라 하자.

두 원의 중심과 G, H, E, F

삼각형 O1ET\displaystyle O_1ET는 선분 O1E\displaystyle O_1E와 O1T\displaystyle O_1T의 길이가 같은 이등변 삼각형이다. 따라서 O1\displaystyle O_1을 지나고 선분 AB에 평행한 직선은 선분 ET를 이등분한다. 마찬가지로 O1\displaystyle O_1을 지나고 선분 BC에 평행한 직선은 선분 GT를 이등분하고, O2\displaystyle O_2를 지나고 선분 AB에 평행한 직선은 선분 FT를 이등분하며, O2\displaystyle O_2를 지나고 선분 BC에 평행한 직선은 선분 HT를 이등분한다.

원 S1\displaystyle S_1과 원 S2\displaystyle S_2의 반지름을 각각 r1\displaystyle r_1과 r2\displaystyle r_2라 하고, GH‾2=k\displaystyle \frac{\overline{GH}}2=k라 하면, AB‾=r1+r2+GH‾2\displaystyle \overline{AB}=r_1+r_2+\frac{\overline{GH}}2이므로100=r1+r2+k\displaystyle 100=r_1+r_2+k …… ①이고,BC‾=r1+r2+EF‾2=r1+r2+60\displaystyle \overline{BC}=r_1+r_2+\frac{\overline{EF}}2=r_1+r_2+60 …… ②이다.

+7점 · 직각삼각형의 변 사이의 관계를 이용하여 직사각형의 넓이를 정확히 구한다.

①에 의해 두 원의 중심사이의 거리는 O1O2‾=r1+r2=100−k\displaystyle \overline{O_1O_2}=r_1+r_2=100-k이고, O1O2‾ 2=(GH‾2)2+(EF‾2)2\displaystyle \overline{O_1O_2}^{\,2}=\left(\frac{\overline{GH}}2\right)^2+\left(\frac{\overline{EF}}2\right)^2이므로, (100−k)2=k2+602\displaystyle (100-k)^2=k^2+60^2이다. 따라서GH‾2=k=32\displaystyle \frac{\overline{GH}}2=k=32 …… ③이다. ①과 ③으로부터 r1+r2=68\displaystyle r_1+r_2=68이므로, ②에 의해 BC‾=r1+r2+60=128\displaystyle \overline{BC}=r_1+r_2+60=128이다. 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 12800이다.

+5점 · 원의 반지름의 범위와 두 원의 넓이의 합을 정확히 표현한다.

[논제 I-1] (2)원 S1\displaystyle S_1과 원 S2\displaystyle S_2가 사각형 ABCD의 내부에 있으므로, 0≤r1≤50\displaystyle 0\le r_1\le50이고 0≤r2≤50\displaystyle 0\le r_2\le50이다. 또한 [논제 I-1] (1)에서 r1+r2=68\displaystyle r_1+r_2=68이므로 18≤r1≤50\displaystyle 18\le r_1\le50이고 18≤r2≤50\displaystyle 18\le r_2\le50이다.두 원의 넓이의 합은 π(r12+r22)=π[r12+(68−r1)2]=π(2r12−136r1+4624)\displaystyle \pi(r_1^2+r_2^2)=\pi\left[r_1^2+(68-r_1)^2\right]=\pi(2r_1^2-136r_1+4624)이므로, 이의 최댓값과 최솟값은 18≤r1≤50\displaystyle 18\le r_1\le50에서 함수 f(r1)=π(2r12−136r1+4624)\displaystyle f(r_1)=\pi(2r_1^2-136r_1+4624)의 최댓값과 최솟값이다.

+10점 · 도함수와 함수의 증가 및 감소를 이용하여 최댓값과 최솟값을 구하고 해당 반지름을 정확히 제시한다.

f′(r1)=π(4r1−136)\displaystyle f^{\prime}(r_1)=\pi(4r_1-136)이므로, f′(34)=0\displaystyle f^{\prime}(34)=0이다.18<r1<34\displaystyle 18<r_1<34일 때 f′(r1)<0\displaystyle f^{\prime}(r_1)<0이고, 34<r1<50\displaystyle 34<r_1<50일 때 f′(r1)>0\displaystyle f^{\prime}(r_1)>0이므로, f(r1)\displaystyle f(r_1)일 때 최솟값 f(34)=2312π\displaystyle f(34)=2312\pi을 가진다. 따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 2312π\displaystyle 2312\pi이며, 이때 두 원의 반지름은 34로 서로 같다.Correction. ‘f(r1)\displaystyle f(r_1)일 때’는 ‘r1=34\displaystyle r_1=34일 때’이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.f(r1)\displaystyle f(r_1)은 f(18)=f(50)=2824π\displaystyle f(18)=f(50)=2824\pi일 때 최대이므로, 두 원의 넓이의 합의 최댓값은 2824π\displaystyle 2824\pi이며, 이때 두 원의 반지름은 각각 18과 50이다.

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