자연계열 (토요일) 1번

[논제 I-1] (1)오른쪽 그림처럼 원 $\displaystyle S_1$과 원 $\displaystyle S_2$의 중심을 각각 $\displaystyle O_1$과 $\displaystyle O_2$라 하고, 점 T를 지나고 선분 AB에 평행한 직선이 원 $\displaystyle S_1$과 $\displaystyle S_2$와 만나는 점을 각각 G와 H라 하자.

삼각형 $\displaystyle O_1ET$는 선분 $\displaystyle O_1E$와 $\displaystyle O_1T$의 길이가 같은 이등변 삼각형이다. 따라서 $\displaystyle O_1$을 지나고 선분 AB에 평행한 직선은 선분 ET를 이등분한다. 마찬가지로 $\displaystyle O_1$을 지나고 선분 BC에 평행한 직선은 선분 GT를 이등분하고, $\displaystyle O_2$를 지나고 선분 AB에 평행한 직선은 선분 FT를 이등분하며, $\displaystyle O_2$를 지나고 선분 BC에 평행한 직선은 선분 HT를 이등분한다.

원 $\displaystyle S_1$과 원 $\displaystyle S_2$의 반지름을 각각 $\displaystyle r_1$과 $\displaystyle r_2$라 하고, $\displaystyle \frac{\overline{GH}}2=k$라 하면, $\displaystyle \overline{AB}=r_1+r_2+\frac{\overline{GH}}2$이므로$\displaystyle 100=r_1+r_2+k$ …… ①이고,$\displaystyle \overline{BC}=r_1+r_2+\frac{\overline{EF}}2=r_1+r_2+60$ …… ②이다.

①에 의해 두 원의 중심사이의 거리는 $\displaystyle \overline{O_1O_2}=r_1+r_2=100-k$이고, $\displaystyle \overline{O_1O_2}^{\,2}=\left(\frac{\overline{GH}}2\right)^2+\left(\frac{\overline{EF}}2\right)^2$이므로, $\displaystyle (100-k)^2=k^2+60^2$이다. 따라서$\displaystyle \frac{\overline{GH}}2=k=32$ …… ③이다. ①과 ③으로부터 $\displaystyle r_1+r_2=68$이므로, ②에 의해 $\displaystyle \overline{BC}=r_1+r_2+60=128$이다. 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 12800이다.

[논제 I-1] (2)원 $\displaystyle S_1$과 원 $\displaystyle S_2$가 사각형 ABCD의 내부에 있으므로, $\displaystyle 0\le r_1\le50$이고 $\displaystyle 0\le r_2\le50$이다. 또한 [논제 I-1] (1)에서 $\displaystyle r_1+r_2=68$이므로 $\displaystyle 18\le r_1\le50$이고 $\displaystyle 18\le r_2\le50$이다.두 원의 넓이의 합은 $\displaystyle \pi(r_1^2+r_2^2)=\pi\left[r_1^2+(68-r_1)^2\right]=\pi(2r_1^2-136r_1+4624)$이므로, 이의 최댓값과 최솟값은 $\displaystyle 18\le r_1\le50$에서 함수 $\displaystyle f(r_1)=\pi(2r_1^2-136r_1+4624)$의 최댓값과 최솟값이다.

$\displaystyle f^{\prime}(r_1)=\pi(4r_1-136)$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(34)=0$이다.$\displaystyle 18<r_1<34$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(r_1)<0$이고, $\displaystyle 34<r_1<50$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(r_1)>0$이므로, $\displaystyle f(r_1)$일 때 최솟값 $\displaystyle f(34)=2312\pi$을 가진다. 따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 $\displaystyle 2312\pi$이며, 이때 두 원의 반지름은 34로 서로 같다.Correction. ‘$\displaystyle f(r_1)$일 때’는 ‘$\displaystyle r_1=34$일 때’이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle f(r_1)$은 $\displaystyle f(18)=f(50)=2824\pi$일 때 최대이므로, 두 원의 넓이의 합의 최댓값은 $\displaystyle 2824\pi$이며, 이때 두 원의 반지름은 각각 18과 50이다.

[논제 I-2](1) 오른쪽 그림과 같이 좌표평면의 원점에 원의 중심 O가 위치하고, 네 점 $\displaystyle A(-1,2),\ B(1,2),\ C(1,0),\ D(-1,0)$인 상황을 생각하면, 점 T는 $\displaystyle T(-\sin\theta,\cos\theta)$이다.

T에서 원에 접하는 직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 R이라 하면, $\displaystyle \angle ROT=\frac\pi2-\theta$이므로 $\displaystyle \angle ORT=\theta$이다.Comment. $\displaystyle \theta=0$이면 접선은 $\displaystyle y=1$이므로 $\displaystyle x$축과 만나는 점 $\displaystyle R$은 존재하지 않는다. 이 경우는 직접 확인하면 접선의 식과 $\displaystyle f(0)=2$를 얻는다.따라서 직선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle l:\ y=(\tan\theta)x+\sec\theta$ …… ①이다.직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle B(1,2)$를 지날 때의 $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle \alpha\left(0\le\alpha<\frac\pi2\right)$라 하면, ①에 의해 $\displaystyle 2=\tan\alpha+\sec\alpha$이므로 $\displaystyle 2\cos\alpha=\sin\alpha+1$이다. $\displaystyle 2\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sin\alpha+1$에 의해 $\displaystyle \sin\alpha=\frac35,\quad\cos\alpha=\frac45,\quad\tan\alpha=\frac34$이다.

i) 직선 $\displaystyle l$이 선분 BC와 만날 때, [논제 I-2] (1)의 결과에 의해 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle 0\le\theta\le\alpha$이다.오른쪽 그림과 같이 점 P를 지나고 선분 AB에 평행한 직선이 선분 BC와 만나는 점을 S라 하면, 삼각형 PQS는 선분 PS의 길이가 2이고 $\displaystyle \angle QPS$가 $\displaystyle \theta$이며 $\displaystyle \angle PSQ$가 $\displaystyle \frac\pi2$인 직각삼각형이다.$\displaystyle \cos\theta=\frac2{\overline{PQ}}$이므로, 선분 PQ의 길이는 $\displaystyle 2\sec\theta$이다.

ii) 직선 $\displaystyle l$이 선분 AB와 만날 때, [논제 I-2] (1)의 결과에 의해 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle \alpha\le\theta<\frac\pi2$이다.T에서 원에 접하는 직선 $\displaystyle l$의 방정식 $\displaystyle y=(\tan\theta)x+\sec\theta$에 의해 직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle x$축과 만나는 점 R의 좌표는 $\displaystyle (-\csc\theta,0)$이다.

점 Q를 지나고 선분 BC에 평행한 직선이 선분 CD와 만나는 점을 S라 하면, 삼각형 QRS는 선분 QS의 길이가 2이고, $\displaystyle \angle QRS$가 $\displaystyle \theta$이며 $\displaystyle \angle QSR$이 $\displaystyle \frac\pi2$인 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\overline{QS}}{\overline{QR}}=\frac2{\overline{QR}}$로부터$\displaystyle \overline{QR}=2\csc\theta$ …… ①이다.삼각형 RPD는 선분 DR의 길이가 $\displaystyle \csc\theta-1$이고 $\displaystyle \angle PRD$가 $\displaystyle \theta$이며 $\displaystyle \angle RDP$가 $\displaystyle \frac\pi2$인 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{DR}}{\overline{PR}}=\frac{\csc\theta-1}{\overline{PR}}$로부터$\displaystyle \overline{PR}=\csc\theta\sec\theta-\sec\theta$ …… ②이며, ①과 ②에 의해 $\displaystyle \overline{PQ}=\overline{QR}-\overline{PR}=2\csc\theta+\sec\theta-\csc\theta\sec\theta$이다.i)과 ii)에 의해, 함수 $\displaystyle f(\theta)$는$\displaystyle f(\theta)=\begin{cases}2\sec\theta&(0\le\theta\le\alpha)\\2\csc\theta+\sec\theta-\csc\theta\sec\theta&\left(\alpha\le\theta<\frac\pi2\right)\end{cases}$이다.

(3) $\displaystyle \tan\theta$는 $\displaystyle 0\le\theta<\frac\pi2$에서 증가함수이고, [논제 I-2]의 (1)에 의해 $\displaystyle \tan\alpha=\frac34,\ \tan\frac\pi4=1$이므로 $\displaystyle 0\le\alpha\le\frac\pi4$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}J&=\int_0^{\frac\pi4}(f(\theta)\sin\theta\cos\theta-\cos\theta)\,d\theta\\&=\int_0^\alpha(f(\theta)\sin\theta\cos\theta-\cos\theta)\,d\theta+\int_\alpha^{\frac\pi4}(f(\theta)\sin\theta\cos\theta-\cos\theta)\,d\theta\\&=\int_0^\alpha(2\sin\theta-\cos\theta)\,d\theta+\int_\alpha^{\frac\pi4}(\cos\theta+\sin\theta-1)\,d\theta\\&=2-\cos\alpha-2\sin\alpha+\alpha-\frac\pi4\end{aligned}$이다.

[논제 I-2] (1)에서 $\displaystyle \sin\alpha=\frac35,\ \cos\alpha=\frac45$이므로 $\displaystyle J=\alpha-\frac\pi4$이고, 따라서$\displaystyle \sin J=\sin\left(\alpha-\frac\pi4\right)=\sin\alpha\cos\frac\pi4-\cos\alpha\sin\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}{10}$이다.