자연계열 (일요일) 1-2번

[논제 I-2]$\displaystyle \triangle OO_1P$와 $\displaystyle \triangle OO_1Q$는 합동이므로 $\displaystyle \angle O_1OP=\angle O_1OQ=\theta$이고 $\displaystyle \overline{PO_1}=\overline{QO_1}=\tan\theta$이다.또한, $\displaystyle \triangle OO_1Q$와 $\displaystyle \triangle ORQ$는 선분 OQ를 공유하고 $\displaystyle \angle O_1OQ=\angle ROQ=\theta,\ \angle OQO_1=\angle OQR=\frac\pi2$이므로 합동이다. $\displaystyle \overline{O_1Q}=\overline{RQ}=\tan\theta$에서 $\displaystyle \overline{O_1R}=2\tan\theta$이고 $\displaystyle \angle OO_1P=\angle OO_1Q=\frac\pi2-\theta$이다. 즉, $\displaystyle \angle PO_1R=\pi-2\theta$이다.사인법칙에 의해 삼각형 $\displaystyle O_1PR$의 넓이는 $\displaystyle S(\theta)=\frac12\overline{O_1P}\cdot\overline{O_1R}\cdot\sin(\angle PO_1R)=\tan^2\theta\sin2\theta$이고Correction. 여기에서 이용한 것은 사인법칙이 아니라 두 변과 그 끼인각을 이용한 삼각형의 넓이 공식이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}S(\theta)\,d\theta&=\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}\tan^2\theta\sin2\theta\,d\theta\\&=2\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=2\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}\frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta}\sin\theta\,d\theta\end{aligned}$이다.$\displaystyle t=\cos\theta$로 치환하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}S(\theta)\,d\theta&=-2\int_{\frac{\sqrt3}2}^{\frac{\sqrt2}2}\frac{1-t^2}t\,dt=-2\Biggl[\ln t-\frac{t^2}2\Biggr]_{\frac{\sqrt3}2}^{\frac{\sqrt2}2}\\&=\ln3-\ln2-\frac14=\ln\frac32-\frac14\end{aligned}$이다.