자연계열 (일요일) 1-3번

[논제 I-3](1) $\displaystyle f(x)$가 양의 값을 가지므로 $\displaystyle x=y=0$을 대입하면 $\displaystyle f(0)=1$이다.식 $\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)e^{2xy}$ 양변에 $\displaystyle \ln$을 취하고 $\displaystyle P(x)=\ln f(x)$라고 하면 $\displaystyle P(x)$는$\displaystyle P(x+y)=P(x)+P(y)+2xy$ …… ①과 $\displaystyle P^{\prime}(0)=\frac{f^{\prime}(0)}{f(0)}=0,\ P(0)=\ln f(0)=0$을 만족한다.

①식에 $\displaystyle y=h$를 대입하면 $\displaystyle \frac{P(x+h)-P(x)}h=2x+\frac{P(h)}h$에서 $\displaystyle P(x)$가 미분가능하고 $\displaystyle P^{\prime}(0)=0$이므로 $\displaystyle h$가 0으로 가는 극한을 생각하면 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{P(x+h)-P(x)}h=2x+\lim_{h\to0}\frac{P(h)}h=2x+\lim_{h\to0}\frac{P(h)-P(0)}{h-0}=2x+P^{\prime}(0)=2x$에서 $\displaystyle P^{\prime}(x)=2x$이고 $\displaystyle P(0)=0$이므로 $\displaystyle P(x)=\ln f(x)=x^2$이 된다. 따라서 $\displaystyle f(x)=e^{x^2}$이다.

(2) $\displaystyle f(x)=e^{x^2}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)=2x(1+2x^2)e^{2x^2}$이다. 치환적분을 이용한 정적분에 의해 $\displaystyle f(0)=1,\ g(1)=0$에서$\displaystyle g(f(x))=g(f(x))-g(f(0))=\int_0^x g^{\prime}(f(t))f^{\prime}(t)\,dt=2\int_0^x t(1+2t^2)e^{2t^2}\,dt$이다. $\displaystyle f(1)=e$이므로 $\displaystyle g(e)=2\int_0^1 t(1+2t^2)e^{2t^2}\,dt$이다.

$\displaystyle y=f(t)=e^{t^2}$으로 치환하면 $\displaystyle 1+2t^2=1+2\ln y,\ \frac{dy}{dt}=2te^{t^2}$이므로$\displaystyle g(e)=2\int_0^1 t(1+2t^2)e^{2t^2}\,dt=\int_0^1 e^{t^2}(1+2t^2)2te^{t^2}\,dt=\int_1^e y(1+2\ln y)\,dy$를 얻는다.정적분에 대한 부분적분법에 의해서 $\displaystyle \int_1^e y\ln y\,dy=\Biggl[\frac{y^2}2\ln y\Biggr]_1^e-\int_1^e\frac y2\,dy$이므로$\displaystyle g(e)=2\int_1^e y\ln y\,dy+\int_1^e y\,dy=2\Biggl[\frac{y^2}2\ln y\Biggr]_1^e=e^2$이다.

(3) $\displaystyle s=x-t$라고 하면 $\displaystyle \int_0^x tf(x-t)h(x-t)\,dt=\int_0^x(x-s)f(s)h(s)\,ds=f(x)-1$에서 $\displaystyle f(x)=e^{x^2}$이므로$\displaystyle \int_0^x(x-t)e^{t^2}h(t)\,dt=e^{x^2}-1$ …… ②이다. $\displaystyle \int_0^x(x-t)e^{t^2}h(t)\,dt=x\int_0^x e^{t^2}h(t)\,dt-\int_0^x te^{t^2}h(t)\,dt$에서 ②의 양변을 $\displaystyle x$로 미분하면 $\displaystyle \int_0^x e^{t^2}h(t)\,dt=2xe^{x^2}$이고, 이 식을 다시 $\displaystyle x$로 미분하면 $\displaystyle e^{x^2}h(x)=(4x^2+2)e^{x^2}$에서 $\displaystyle h(x)=4x^2+2$이다.

$\displaystyle y=h(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,h(a))$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle h^{\prime}(a)=8a$이므로 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac1{8a}$이다. 기울기가 $\displaystyle -\frac1{8a}$이며 점 $\displaystyle (a,h(a))=(a,4a^2+2)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1{8a}(x-a)+4a^2+2=-\frac1{8a}x+4a^2+\frac{17}8$이고 이 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점이 $\displaystyle (49,0)$이므로 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 32a^3+17a-49=0$을 만족한다. 따라서$\displaystyle 32a^3+17a-49=(a-1)(32a^2+32a+49),\quad32a^2+32a+49=32\left(a+\frac12\right)^2+41>0$에서 $\displaystyle a=1$이다.