자연계열 (일요일) 1번

[논제 I-1]주어진 이산확률변수 $\displaystyle X$의 확률질량함수로부터 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(n,p)$를 따른다. 따라서 $\displaystyle X$의 평균은 $\displaystyle m=np$이고 표준편차는 $\displaystyle \sigma=\sqrt{np(1-p)}$이다.

$\displaystyle n\ge60,\ 0.1\le p\le0.5$에서 $\displaystyle np\ge5,\ np(1-p)\ge5$이므로 $\displaystyle X$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle N(np,np(1-p))$를 따른다.Comment. 시행 횟수가 충분히 크므로 이항분포를 정규분포로 근사하여 계산한다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(|X-m|\ge\frac25m\right)=\mathrm{P}\left(\frac{|X-m|}{\sigma}\ge\frac{2m}{5\sigma}\right)=\mathrm{P}\left(|Z|\ge\frac{2m}{5\sigma}\right)=0.0456$이고 $\displaystyle \mathrm{P}(|Z|\ge2)=1-2\mathrm{P}(0\le Z\le2)=0.0456$에서 $\displaystyle \frac{2m}{5\sigma}=2$이다. 따라서 $\displaystyle m=5\sigma$이고 $\displaystyle m\sigma=80$에서 $\displaystyle m=20,\ \sigma=4$이므로 $\displaystyle np=20,\ np(1-p)=16$이다. 따라서, $\displaystyle n=100,\ p=0.2$이다.

[논제 I-2]$\displaystyle \triangle OO_1P$와 $\displaystyle \triangle OO_1Q$는 합동이므로 $\displaystyle \angle O_1OP=\angle O_1OQ=\theta$이고 $\displaystyle \overline{PO_1}=\overline{QO_1}=\tan\theta$이다.또한, $\displaystyle \triangle OO_1Q$와 $\displaystyle \triangle ORQ$는 선분 OQ를 공유하고 $\displaystyle \angle O_1OQ=\angle ROQ=\theta,\ \angle OQO_1=\angle OQR=\frac\pi2$이므로 합동이다. $\displaystyle \overline{O_1Q}=\overline{RQ}=\tan\theta$에서 $\displaystyle \overline{O_1R}=2\tan\theta$이고 $\displaystyle \angle OO_1P=\angle OO_1Q=\frac\pi2-\theta$이다. 즉, $\displaystyle \angle PO_1R=\pi-2\theta$이다.사인법칙에 의해 삼각형 $\displaystyle O_1PR$의 넓이는 $\displaystyle S(\theta)=\frac12\overline{O_1P}\cdot\overline{O_1R}\cdot\sin(\angle PO_1R)=\tan^2\theta\sin2\theta$이고Correction. 여기에서 이용한 것은 사인법칙이 아니라 두 변과 그 끼인각을 이용한 삼각형의 넓이 공식이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}S(\theta)\,d\theta&=\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}\tan^2\theta\sin2\theta\,d\theta\\&=2\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=2\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}\frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta}\sin\theta\,d\theta\end{aligned}$이다.$\displaystyle t=\cos\theta$로 치환하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}S(\theta)\,d\theta&=-2\int_{\frac{\sqrt3}2}^{\frac{\sqrt2}2}\frac{1-t^2}t\,dt=-2\Biggl[\ln t-\frac{t^2}2\Biggr]_{\frac{\sqrt3}2}^{\frac{\sqrt2}2}\\&=\ln3-\ln2-\frac14=\ln\frac32-\frac14\end{aligned}$이다.

[논제 I-3](1) $\displaystyle f(x)$가 양의 값을 가지므로 $\displaystyle x=y=0$을 대입하면 $\displaystyle f(0)=1$이다.식 $\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)e^{2xy}$ 양변에 $\displaystyle \ln$을 취하고 $\displaystyle P(x)=\ln f(x)$라고 하면 $\displaystyle P(x)$는$\displaystyle P(x+y)=P(x)+P(y)+2xy$ …… ①과 $\displaystyle P^{\prime}(0)=\frac{f^{\prime}(0)}{f(0)}=0,\ P(0)=\ln f(0)=0$을 만족한다.

①식에 $\displaystyle y=h$를 대입하면 $\displaystyle \frac{P(x+h)-P(x)}h=2x+\frac{P(h)}h$에서 $\displaystyle P(x)$가 미분가능하고 $\displaystyle P^{\prime}(0)=0$이므로 $\displaystyle h$가 0으로 가는 극한을 생각하면 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{P(x+h)-P(x)}h=2x+\lim_{h\to0}\frac{P(h)}h=2x+\lim_{h\to0}\frac{P(h)-P(0)}{h-0}=2x+P^{\prime}(0)=2x$에서 $\displaystyle P^{\prime}(x)=2x$이고 $\displaystyle P(0)=0$이므로 $\displaystyle P(x)=\ln f(x)=x^2$이 된다. 따라서 $\displaystyle f(x)=e^{x^2}$이다.

(2) $\displaystyle f(x)=e^{x^2}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)=2x(1+2x^2)e^{2x^2}$이다. 치환적분을 이용한 정적분에 의해 $\displaystyle f(0)=1,\ g(1)=0$에서$\displaystyle g(f(x))=g(f(x))-g(f(0))=\int_0^x g^{\prime}(f(t))f^{\prime}(t)\,dt=2\int_0^x t(1+2t^2)e^{2t^2}\,dt$이다. $\displaystyle f(1)=e$이므로 $\displaystyle g(e)=2\int_0^1 t(1+2t^2)e^{2t^2}\,dt$이다.

$\displaystyle y=f(t)=e^{t^2}$으로 치환하면 $\displaystyle 1+2t^2=1+2\ln y,\ \frac{dy}{dt}=2te^{t^2}$이므로$\displaystyle g(e)=2\int_0^1 t(1+2t^2)e^{2t^2}\,dt=\int_0^1 e^{t^2}(1+2t^2)2te^{t^2}\,dt=\int_1^e y(1+2\ln y)\,dy$를 얻는다.정적분에 대한 부분적분법에 의해서 $\displaystyle \int_1^e y\ln y\,dy=\Biggl[\frac{y^2}2\ln y\Biggr]_1^e-\int_1^e\frac y2\,dy$이므로$\displaystyle g(e)=2\int_1^e y\ln y\,dy+\int_1^e y\,dy=2\Biggl[\frac{y^2}2\ln y\Biggr]_1^e=e^2$이다.

(3) $\displaystyle s=x-t$라고 하면 $\displaystyle \int_0^x tf(x-t)h(x-t)\,dt=\int_0^x(x-s)f(s)h(s)\,ds=f(x)-1$에서 $\displaystyle f(x)=e^{x^2}$이므로$\displaystyle \int_0^x(x-t)e^{t^2}h(t)\,dt=e^{x^2}-1$ …… ②이다. $\displaystyle \int_0^x(x-t)e^{t^2}h(t)\,dt=x\int_0^x e^{t^2}h(t)\,dt-\int_0^x te^{t^2}h(t)\,dt$에서 ②의 양변을 $\displaystyle x$로 미분하면 $\displaystyle \int_0^x e^{t^2}h(t)\,dt=2xe^{x^2}$이고, 이 식을 다시 $\displaystyle x$로 미분하면 $\displaystyle e^{x^2}h(x)=(4x^2+2)e^{x^2}$에서 $\displaystyle h(x)=4x^2+2$이다.

$\displaystyle y=h(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,h(a))$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle h^{\prime}(a)=8a$이므로 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac1{8a}$이다. 기울기가 $\displaystyle -\frac1{8a}$이며 점 $\displaystyle (a,h(a))=(a,4a^2+2)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1{8a}(x-a)+4a^2+2=-\frac1{8a}x+4a^2+\frac{17}8$이고 이 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점이 $\displaystyle (49,0)$이므로 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 32a^3+17a-49=0$을 만족한다. 따라서$\displaystyle 32a^3+17a-49=(a-1)(32a^2+32a+49),\quad32a^2+32a+49=32\left(a+\frac12\right)^2+41>0$에서 $\displaystyle a=1$이다.