의학계 (오전) 1-1번

[논제 I-1](1) 매개변수 $\displaystyle t$로 나타낸 함수 $\displaystyle x = ( \cos \theta ) t , y = t^{2} - \left( \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right) \right) t$가 $\displaystyle x$축을 만날 때, $\displaystyle y = 0$, 즉 $\displaystyle 0 = t^{2} - \left( \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right) \right) t$ 이므로, $\displaystyle t = 0$ 또는 $\displaystyle t = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right)$이다.$\displaystyle t = 0$일 때, $\displaystyle x = ( \cos \theta ) t = 0$으로 원점이 교점이므로, $\displaystyle t \ne 0$이다.그래서 $\displaystyle t = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right)$일 때, $\displaystyle g ( \theta ) = x = \cos \theta \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right)$이다.

이를 미분하면, $\displaystyle g^{\prime} ( \theta ) = ( - \sin \theta ) \sin \left( \theta + \frac{{\pi}}{5} \right) + \cos \theta \cos \left( \theta + \frac{{\pi}}{5} \right) = \cos \left( 2 \theta + \frac{{\pi}}{5} \right)$이다.$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{5} < 2 \theta + \frac{\pi}{5} < \frac{{6 \pi}}{5}$이고, $\displaystyle \theta = \frac{{3 \pi}}{20}$에서만 $\displaystyle g^{\prime} ( \theta ) = 0$이다.$\displaystyle \theta = \frac{{3 \pi}}{20}$에서 $\displaystyle g^{\prime} ( \theta )$의 부호가 양에서 음으로 바뀌어 $\displaystyle g ( \theta )$가 극댓값을 가지므로,$\displaystyle g ( \theta )$는 $\displaystyle \theta = \frac{{3 \pi}}{20}$에서 최댓값을 가진다.

(2) 조건 (ㄱ)을 만족하는 두 실수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle c$를 찾기 위하여, 먼저 $\displaystyle \theta \ne \frac{\pi}{2}$라 하자. 이때 $\displaystyle \cos \theta \ne 0$이다. 매개변수 함수$\displaystyle x=(\cos\theta)t,\quad y=t^2-(\sin\theta)t$ …… ①에서 $\displaystyle t = \frac{x}{\cos \theta}$이고 $\displaystyle y = t^{2} - ( \sin \theta ) t = \left( \frac{x}{\cos \theta} \right)^{2} - ( \sin \theta ) \frac{x}{\cos \theta} = ( \sec^{2} \theta ) x^{2} - ( \tan \theta ) x$이다.따라서 매개변수 함수의 점 $\displaystyle ( x , y )$는 $\displaystyle y = ( \sec^{2} \theta ) x^{2} - ( \tan \theta ) x$를 만족한다.이 점 $\displaystyle ( x , y )$가 부등식 $\displaystyle y \ge a x^{2} + c$를 만족해야 하므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle y = ( \sec^{2} \theta ) x^{2} - ( \tan \theta ) x \ge a x^{2} + c$, 즉$\displaystyle (\sec^2\theta-a)x^2-(\tan\theta)x-c\ge0$ …… ②이어야 한다. 만약 $\displaystyle \sec^{2} \theta - a \le 0$이면, 부등식 ②가 성립하지 않는 $\displaystyle x$가 항상 있기에, $\displaystyle a$는 $\displaystyle 0 \le \theta \le \pi$이고 $\displaystyle \theta \ne \frac{\pi}{2}$인 모든 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle \sec^{2} \theta - a > 0$을 만족해야 한다.Comment. $\displaystyle \sec^2\theta-a=0$인 경우에는 부등식이 항상 성립할 수도 있다. 예를 들어 $\displaystyle a=1$, $\displaystyle c=-\frac14$, $\displaystyle \theta=0$이면 부등식은 $\displaystyle \frac14\ge0$이 된다. 최고차항의 계수가 음수인 경우와 $\displaystyle 0$인 경우를 구분해야 한다.이때 방정식 $\displaystyle ( \sec^{2} \theta - a ) x^{2} - ( \tan \theta ) x - c = 0$이 중근을 가지면 부등식 ②가 성립하므로, 판별식$\displaystyle ( \tan \theta )^{2} + 4 c ( \sec^{2} \theta - a ) = \tan^{2} \theta + 4 c ( \tan^{2} \theta + 1 ) - 4 a c = ( 4 c + 1 ) \tan^{2} \theta + 4 c ( 1 - a )$이 $\displaystyle 0$이 되는 $\displaystyle a , c$를 찾는다. 여기서 $\displaystyle \tan \theta$에 대한 계수가 모두 $\displaystyle 0$이면 이 조건을 항상 만족시킨다. $\displaystyle a = 1 , c = - \frac{1}{4}$라 하자. 이때 계수가 $\displaystyle 0$이 되어 위에서 고려된 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle \sec^{2} \theta - a \le 0$인 경우를 제외하면 부등식 $\displaystyle y \ge x^{2} - \frac{1}{4}$가 항상 성립한다.

$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$일 때, $\displaystyle x = 0 , y = t^{2} - t \ge - \frac{1}{4}$가 되어 부등식 $\displaystyle y \ge x^{2} - \frac{1}{4}$를 만족한다.$\displaystyle \sec^{2} \theta \le 1$일 때, $\displaystyle \theta = 0$ 또는 $\displaystyle \theta = \pi$이고, $\displaystyle \tan \theta = 0$이다. 부등식 ②가 $\displaystyle \frac{1}{4} = - c \ge 0$, 즉 부등식 $\displaystyle y \ge x^{2} - \frac{1}{4}$를 만족한다. 결론적으로, 모든 $\displaystyle \theta ( 0 \le \theta \le \pi )$에 대하여 매개변수 함수 ①은 부등식 $\displaystyle y \ge x^{2} - \frac{1}{4}$를 만족함을 알 수 있다.

(ㄴ) 조건이 성립함을 보이기 위하여$\displaystyle q\ge p^2-\frac14$ …… ③인 점 $\displaystyle ( p , q )$를 생각하자.만약 $\displaystyle p = 0$이면, $\displaystyle q \ge - \frac{1}{4}$이므로, 이차방정식 $\displaystyle t^{2} - t - q = 0$의 해 $\displaystyle t = \alpha$가 존재한다. 이때 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} , t = \alpha$로 하면 점 $\displaystyle ( p , q )$는 매개변수 함수의 점이 된다.이제, $\displaystyle p \ne 0$라 하자. 변수 $\displaystyle z$에 대한 이차방정식 $\displaystyle p^{2} z^{2} - p z + p^{2} - q = 0$은 부등식 ③에 의하여 판별식 $\displaystyle p^{2} - 4 p^{2} ( p^{2} - q ) = 4 p^{2} \left( \frac{1}{4} - p^{2} + q \right) \ge 0$이 되어 해 $\displaystyle z = \beta$를 가진다.방정식 $\displaystyle \tan \theta = \beta$의 해인 $\displaystyle \theta = \alpha$가 구간 $\displaystyle 0 \le \theta \le \pi$에 존재한다.이로부터 $\displaystyle p^{2} \tan^{2} \alpha - p \tan \alpha + p^{2} - q = 0$이고$\displaystyle q = p^{2} ( \tan^{2} \alpha + 1 ) - p \tan \alpha = p^{2} \sec^{2} \alpha - p \tan \alpha = \left( \frac{p}{\cos \alpha} \right)^{2} - \sin \alpha \left( \frac{p}{\cos \alpha} \right)$이다.이로부터 $\displaystyle t = \frac{p}{\cos \alpha}$라 할 때, $\displaystyle p = ( \cos \alpha ) t , q = t^{2} - ( \sin \alpha ) t$가 성립되므로 점 $\displaystyle ( p , q )$가 어떤 $\displaystyle \theta = \alpha$에 대하여 함수 ①의 한 점이 된다.그래서 $\displaystyle a = 1 , c = - \frac{1}{4}$일 때 조건 (ㄴ)이 성립함을 알 수 있다.