의학계 (오전) 1번

[논제 I-1](1) 매개변수 $\displaystyle t$로 나타낸 함수 $\displaystyle x = ( \cos \theta ) t , y = t^{2} - \left( \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right) \right) t$가 $\displaystyle x$축을 만날 때, $\displaystyle y = 0$, 즉 $\displaystyle 0 = t^{2} - \left( \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right) \right) t$ 이므로, $\displaystyle t = 0$ 또는 $\displaystyle t = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right)$이다.$\displaystyle t = 0$일 때, $\displaystyle x = ( \cos \theta ) t = 0$으로 원점이 교점이므로, $\displaystyle t \ne 0$이다.그래서 $\displaystyle t = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right)$일 때, $\displaystyle g ( \theta ) = x = \cos \theta \sin \left( \theta + \frac{\pi}{5} \right)$이다.

이를 미분하면, $\displaystyle g^{\prime} ( \theta ) = ( - \sin \theta ) \sin \left( \theta + \frac{{\pi}}{5} \right) + \cos \theta \cos \left( \theta + \frac{{\pi}}{5} \right) = \cos \left( 2 \theta + \frac{{\pi}}{5} \right)$이다.$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{5} < 2 \theta + \frac{\pi}{5} < \frac{{6 \pi}}{5}$이고, $\displaystyle \theta = \frac{{3 \pi}}{20}$에서만 $\displaystyle g^{\prime} ( \theta ) = 0$이다.$\displaystyle \theta = \frac{{3 \pi}}{20}$에서 $\displaystyle g^{\prime} ( \theta )$의 부호가 양에서 음으로 바뀌어 $\displaystyle g ( \theta )$가 극댓값을 가지므로,$\displaystyle g ( \theta )$는 $\displaystyle \theta = \frac{{3 \pi}}{20}$에서 최댓값을 가진다.

(2) 조건 (ㄱ)을 만족하는 두 실수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle c$를 찾기 위하여, 먼저 $\displaystyle \theta \ne \frac{\pi}{2}$라 하자. 이때 $\displaystyle \cos \theta \ne 0$이다. 매개변수 함수$\displaystyle x=(\cos\theta)t,\quad y=t^2-(\sin\theta)t$ …… ①에서 $\displaystyle t = \frac{x}{\cos \theta}$이고 $\displaystyle y = t^{2} - ( \sin \theta ) t = \left( \frac{x}{\cos \theta} \right)^{2} - ( \sin \theta ) \frac{x}{\cos \theta} = ( \sec^{2} \theta ) x^{2} - ( \tan \theta ) x$이다.따라서 매개변수 함수의 점 $\displaystyle ( x , y )$는 $\displaystyle y = ( \sec^{2} \theta ) x^{2} - ( \tan \theta ) x$를 만족한다.이 점 $\displaystyle ( x , y )$가 부등식 $\displaystyle y \ge a x^{2} + c$를 만족해야 하므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle y = ( \sec^{2} \theta ) x^{2} - ( \tan \theta ) x \ge a x^{2} + c$, 즉$\displaystyle (\sec^2\theta-a)x^2-(\tan\theta)x-c\ge0$ …… ②이어야 한다. 만약 $\displaystyle \sec^{2} \theta - a \le 0$이면, 부등식 ②가 성립하지 않는 $\displaystyle x$가 항상 있기에, $\displaystyle a$는 $\displaystyle 0 \le \theta \le \pi$이고 $\displaystyle \theta \ne \frac{\pi}{2}$인 모든 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle \sec^{2} \theta - a > 0$을 만족해야 한다.Comment. $\displaystyle \sec^2\theta-a=0$인 경우에는 부등식이 항상 성립할 수도 있다. 예를 들어 $\displaystyle a=1$, $\displaystyle c=-\frac14$, $\displaystyle \theta=0$이면 부등식은 $\displaystyle \frac14\ge0$이 된다. 최고차항의 계수가 음수인 경우와 $\displaystyle 0$인 경우를 구분해야 한다.이때 방정식 $\displaystyle ( \sec^{2} \theta - a ) x^{2} - ( \tan \theta ) x - c = 0$이 중근을 가지면 부등식 ②가 성립하므로, 판별식$\displaystyle ( \tan \theta )^{2} + 4 c ( \sec^{2} \theta - a ) = \tan^{2} \theta + 4 c ( \tan^{2} \theta + 1 ) - 4 a c = ( 4 c + 1 ) \tan^{2} \theta + 4 c ( 1 - a )$이 $\displaystyle 0$이 되는 $\displaystyle a , c$를 찾는다. 여기서 $\displaystyle \tan \theta$에 대한 계수가 모두 $\displaystyle 0$이면 이 조건을 항상 만족시킨다. $\displaystyle a = 1 , c = - \frac{1}{4}$라 하자. 이때 계수가 $\displaystyle 0$이 되어 위에서 고려된 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle \sec^{2} \theta - a \le 0$인 경우를 제외하면 부등식 $\displaystyle y \ge x^{2} - \frac{1}{4}$가 항상 성립한다.

$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$일 때, $\displaystyle x = 0 , y = t^{2} - t \ge - \frac{1}{4}$가 되어 부등식 $\displaystyle y \ge x^{2} - \frac{1}{4}$를 만족한다.$\displaystyle \sec^{2} \theta \le 1$일 때, $\displaystyle \theta = 0$ 또는 $\displaystyle \theta = \pi$이고, $\displaystyle \tan \theta = 0$이다. 부등식 ②가 $\displaystyle \frac{1}{4} = - c \ge 0$, 즉 부등식 $\displaystyle y \ge x^{2} - \frac{1}{4}$를 만족한다. 결론적으로, 모든 $\displaystyle \theta ( 0 \le \theta \le \pi )$에 대하여 매개변수 함수 ①은 부등식 $\displaystyle y \ge x^{2} - \frac{1}{4}$를 만족함을 알 수 있다.

(ㄴ) 조건이 성립함을 보이기 위하여$\displaystyle q\ge p^2-\frac14$ …… ③인 점 $\displaystyle ( p , q )$를 생각하자.만약 $\displaystyle p = 0$이면, $\displaystyle q \ge - \frac{1}{4}$이므로, 이차방정식 $\displaystyle t^{2} - t - q = 0$의 해 $\displaystyle t = \alpha$가 존재한다. 이때 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} , t = \alpha$로 하면 점 $\displaystyle ( p , q )$는 매개변수 함수의 점이 된다.이제, $\displaystyle p \ne 0$라 하자. 변수 $\displaystyle z$에 대한 이차방정식 $\displaystyle p^{2} z^{2} - p z + p^{2} - q = 0$은 부등식 ③에 의하여 판별식 $\displaystyle p^{2} - 4 p^{2} ( p^{2} - q ) = 4 p^{2} \left( \frac{1}{4} - p^{2} + q \right) \ge 0$이 되어 해 $\displaystyle z = \beta$를 가진다.방정식 $\displaystyle \tan \theta = \beta$의 해인 $\displaystyle \theta = \alpha$가 구간 $\displaystyle 0 \le \theta \le \pi$에 존재한다.이로부터 $\displaystyle p^{2} \tan^{2} \alpha - p \tan \alpha + p^{2} - q = 0$이고$\displaystyle q = p^{2} ( \tan^{2} \alpha + 1 ) - p \tan \alpha = p^{2} \sec^{2} \alpha - p \tan \alpha = \left( \frac{p}{\cos \alpha} \right)^{2} - \sin \alpha \left( \frac{p}{\cos \alpha} \right)$이다.이로부터 $\displaystyle t = \frac{p}{\cos \alpha}$라 할 때, $\displaystyle p = ( \cos \alpha ) t , q = t^{2} - ( \sin \alpha ) t$가 성립되므로 점 $\displaystyle ( p , q )$가 어떤 $\displaystyle \theta = \alpha$에 대하여 함수 ①의 한 점이 된다.그래서 $\displaystyle a = 1 , c = - \frac{1}{4}$일 때 조건 (ㄴ)이 성립함을 알 수 있다.

[논제 I-2](1) 오른쪽 그림에서 $\displaystyle C_2$에서 직선 $\displaystyle C_1X$에 내린 수선의 발을 F라 할 때, 사각형 $\displaystyle YXFC_2$는 직사각형, 삼각형 $\displaystyle C_1FC_2$는 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의하여

$\displaystyle \overline{XY}=\overline{FC_2}=\sqrt{\overline{C_1C_2}^{\,2}-\overline{C_1F}^{\,2}}=\sqrt{(x+y)^2-(x-y)^2}=2\sqrt{xy}$이다.

사각형 $\displaystyle ZXX^{\prime}C_3$, 사각형 $\displaystyle YZC_3Y^{\prime}$이 모두 직사각형이고, 삼각형 $\displaystyle C_3X^{\prime}C_1$, 삼각형 $\displaystyle C_2Y^{\prime}C_3$가 모두 직각삼각형이므로$\displaystyle \overline{XZ}=\overline{X^{\prime}C_3}=\sqrt{\overline{C_1C_3}^{\,2}-\overline{C_1X^{\prime}}^{\,2}}=\sqrt{(x+z)^2-(x-z)^2}=2\sqrt{xz}$이고$\displaystyle \overline{YZ}=\overline{Y^{\prime}C_3}=\sqrt{\overline{C_2C_3}^{\,2}-\overline{C_2Y^{\prime}}^{\,2}}=\sqrt{(y+z)^2-(y-z)^2}=2\sqrt{yz}$이다.이로부터 $\displaystyle 2\sqrt{xy}=\overline{XY}=\overline{XZ}+\overline{YZ}=2\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}=2\sqrt z(\sqrt x+\sqrt y)$을 얻는다. 이를 $\displaystyle z$에 대하여 풀면 원 $\displaystyle C_3$의 반지름 $\displaystyle z=\frac{xy}{(\sqrt x+\sqrt y)^2}$이고, $\displaystyle \overline{YZ}=2\sqrt{yz}=\frac{2y\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}$이다.

(2) 주어진 조건으로부터 $\displaystyle a_{1} = 1 , a_{2} = r$이다. 여기서 $\displaystyle r = \frac{{( \sqrt{5} - 1 )^{2}}}{4}$라 하자.(1)의 결과를 적용하여$\displaystyle a_{3} = \frac{{1 \cdot r}}{( \sqrt{1} + \sqrt{r} )^{2}} = \frac{{\frac{{( \sqrt{5} - 1 )^{2}}}{4}}}{\left( 1 + \frac{{\sqrt{5} - 1}}{2} \right)^{2}} = \frac{{( \sqrt{5} - 1 )^{2}}}{( \sqrt{5} + 1 )^{2}} = \left( \frac{{( \sqrt{5} - 1 ) ( \sqrt{5} - 1 )}}{( \sqrt{5} + 1 ) ( \sqrt{5} - 1 )} \right)^{2} = \left( \frac{{( \sqrt{5} - 1 )^{2}}}{4} \right)^{2} = r^{2}$임을 알 수 있다.원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$의 반지름의 길이의 비 $\displaystyle \frac{a_{3}}{a_{2}}$는 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}$의 반지름의 길이의 비 $\displaystyle \frac{a_{2}}{a_{1}}$와 $\displaystyle r$로 서로 같다. 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$가 서로 한 점에서 만나고 동시에 $\displaystyle x$축에 접하는 관계는 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}$과 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$가 서로 한 점에서 만나고 동시에 $\displaystyle x$축에 접하는 관계와 닮았고 그 닮음비가 $\displaystyle r$이다. 그래서 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$ 사이 관계에서 만들어진 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{4}$와, 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$ 사이 관계에서 만들어진 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$의 닮음비가 $\displaystyle r$이 되고, 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{4}$의 반지름의 길이 $\displaystyle a_{4}$는 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$의 반지름의 길이 $\displaystyle a_{3}$의 $\displaystyle r$배가 된다. 즉 $\displaystyle a_{4} = r a_{3} = r^{3}$이다.이와 같은 닮은 관계가 계속되므로 $\displaystyle a_{n+1}=ra_n$이 되어 $\displaystyle a_n$은 공비 $\displaystyle r$을 가지는 등비수열이다.그래서 $\displaystyle a_n=r^{n-1}=\frac{(\sqrt5-1)^{2n-2}}{4^{n-1}}$이다.

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 원 $\displaystyle O_n$과 $\displaystyle x$축과의 교점을 $\displaystyle X_n$이라 하자. 원 $\displaystyle O_{n+1}$은, $\displaystyle n$이 짝수일 때, 원 $\displaystyle O_n$의 왼쪽, $\displaystyle n$이 홀수일 때, 원 $\displaystyle O_n$의 오른쪽에 위치하므로,$\displaystyle x_{n+1}=x_n+(-1)^{n-1}\overline{X_nX_{n+1}}$이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{X}_{n} \mathrm{X}_{n + 1}}}$은 (1)의 결과로부터

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{X_nX_{n+1}}&=\frac{2r^{n-1}\cdot\sqrt{r^{n-2}}}{\sqrt{r^{n-2}}+\sqrt{r^{n-1}}}=\frac{2r^{n-1}}{1+\sqrt r}=\frac2{1+\sqrt r}r^{n-1}\\&=\frac4{\sqrt5+1}r^{n-1}=(\sqrt5-1)r^{n-1}\end{aligned}$이다.$\displaystyle x_1=0$이므로$\displaystyle x_{n+1}=\sum_{i=1}^n(-1)^{n-1}\overline{X_nX_{n+1}}=\sum_{i=1}^n(\sqrt5-1)(-r)^{n-1}$이다.Correction. 합의 항에 있는 지수 $\displaystyle n-1$은 $\displaystyle i-1$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그래서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\frac{\sqrt5-1}{1-(-r)}=\frac{\sqrt5-1}{1+\frac{3-\sqrt5}2}=\frac{2(\sqrt5-1)}{5-\sqrt5}=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5$이다.