자연계열 2번

[논제 2](1)$\displaystyle a$의 값에 따라 서로 다른 2개의 정수해를 갖는 경우는 다음과 같다.가) $\displaystyle a=0:\ x^2-1=(x-1)(x+1)=0,\ x^2-4=(x-2)(x+2)=0$나) $\displaystyle a=1:\ x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$다) $\displaystyle a=2:\ x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$라) $\displaystyle a=3:\ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,\ x^2-3x-4=(x-4)(x+1)=0$마) $\displaystyle a=4:\ x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,\ x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0$바) $\displaystyle a=5:\ x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0$따라서 서로 다른 2개의 정수해를 갖는 경우의 수는 9이다.

[논제 2](2)상자 B에 들어있는 수는 모두 소수이다. 따라서 $\displaystyle bc=p$ 또는 $\displaystyle bc=-p$라고 할 수 있다. 이때 이차방정식을 인수분해하여 나타낼 수 있는 경우는 다음 4가지가 있다.$\displaystyle (x-1)(x-p)=x^2-(p+1)x+p=0,\ (x+1)(x+p)=x^2+(p+1)x+p=0$$\displaystyle (x-1)(x+p)=x^2-(1-p)x-p=0,\ (x+1)(x-p)=x^2-(p-1)x-p=0$$\displaystyle x$의 계수가 음수이므로 가능한 경우는 다음 2가지이다.$\displaystyle (x-1)(x-p)=x^2-(p+1)x+p=0,\ x=1$ 또는 $\displaystyle x=p$$\displaystyle (x+1)(x-p)=x^2-(p-1)x-p=0,\ x=-1$ 또는 $\displaystyle x=p$상자 B의 3 이상 13 이하의 소수 $\displaystyle p$에 대해 상자 A에 $\displaystyle p-1,\ p+1$이 있고,2에 대해 3은 있고, 1은 없고, 17에 대해 16은 있고, 18은 없으며,19에 대해 18, 20 모두 없다.그러므로 서로 다른 2개의 정수해를 갖는 경우의 수는 $\displaystyle 1+5\times2+1=12$이다.그리고 상자 A, B, C에서 공을 각각 임의로 1개씩의 공을 꺼내는 경우의 수는 $\displaystyle 15\times8\times2=240$이다.따라서 서로 다른 2개의 정수해를 가질 확률은 $\displaystyle \frac{1+5\times2+1}{15\times8\times2}=\frac1{20}$이다.