의·약학계 1-1번

[논제Ⅰ-1](1) 아래 그림과 같이 유리창1로 빛이 들어오는 구역을 A, 유리창2에서 빛이 통과하여 나가는 구역을 B라 두자. 유리창1로 들어오는 빛의 양 $\displaystyle a$는 $\displaystyle (1-r)a$는 A로 반사되고, $\displaystyle ra$는 유리창1을 통과한다. 유리창2에 $\displaystyle ra$가 들어가면 $\displaystyle (1-r)ra$는 반사되고, $\displaystyle r^2a$는 통과하여 B쪽으로 간다. 유리창2에서 반사된 $\displaystyle (1-r)ra$는 다시 유리창1로 들어가고, $\displaystyle (1-r)r^2a$는 유리창1을 통과하여 A쪽으로 가고, $\displaystyle (1-r)^2ra$는 반사된다. 반사된 $\displaystyle (1-r)^2ra$는 다시 유리창2로 들어가고, $\displaystyle (1-r)^2r^2a$는 유리창2를 통과하여 B쪽으로 가고, $\displaystyle (1-r)^3ra$는 반사된다. 이 과정을 계속 반복하면, 유리창2를 통과한 빛의 양은 첫째항이 $\displaystyle r^2a$이고 공비가 $\displaystyle (1-r)^2$인 등비급수이 된다.

따라서, B에서 빛의 양 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S=\frac{r^2a}{1-(1-r)^2}$이고 $\displaystyle S=\frac12a$를 풀면, $\displaystyle r=\frac23$이다.

(2) 빛을 통과시키는 비율이 $\displaystyle q_1,\ q_2$인 유리창 2개가 있다고 하자. (논제Ⅰ-1)에서와 같은 방법을 적용하여 빛의 양 $\displaystyle a$가 빛을 통과시키는 비율이 $\displaystyle q_1,\ q_2$인 유리창을 통과하여, B에 도달하는 양을 구할 수 있다. 즉, B에 도달하는 빛의 양 $\displaystyle S$는 첫째항이 $\displaystyle q_1q_2a$, 공비가 $\displaystyle (1-q_1)(1-q_2)$인 등비급수의 합이 된다.$\displaystyle S=\frac{q_1q_2}{1-(1-q_1)(1-q_2)}a=\frac{q_1q_2}{q_1+q_2-q_1q_2}a=\frac1{\frac1{q_1}+\frac1{q_2}-1}a$즉, 빛을 통과시키는 비율이 $\displaystyle q_1,\ q_2$인 두 개의 유리창을 하나로 보았을 때, 이 유리창이 빛을 통과시키는 비율 $\displaystyle r$은 $\displaystyle r=\frac1{\frac1{q_1}+\frac1{q_2}-1}$이 된다.

$\displaystyle n$개의 유리창이 있을 때, 첫 번째 유리창이 빛을 통과시키는 비율을 $\displaystyle q_1$이라두고, 두 번째에서 $\displaystyle n$번째까지 $\displaystyle n-1$개의 유리창을 하나로 보고 빛을 통과시키는 비율을 $\displaystyle q_2$로 둘 수 있다. $\displaystyle q_1=\frac23$이고 $\displaystyle q_2=r_{n-1}$이므로, ($\displaystyle r_{n-1}$을 유리창 $\displaystyle n-1$개를 하나로 보았을 때 빛을 통과시키는 비율이라 하자.) 위에서 계산한 식에 $\displaystyle q_1,\ q_2$를 대입하여 $\displaystyle r_n$을 구하면$\displaystyle r_n=\frac1{\frac32+\frac1{r_{n-1}}-1}=\frac1{\frac12+\frac1{r_{n-1}}}$이다.

이 식을 이용하면, $\displaystyle \frac1{r_n}=\frac12+\frac1{r_{n-1}}$이고, $\displaystyle a_n=\frac1{r_n}$은 첫째항이 $\displaystyle a_1=\frac32$이고 공차가 $\displaystyle \frac12$인 등차수열이다. 즉, $\displaystyle a_n=\frac{n+2}2$이고 $\displaystyle r_n=\frac2{n+2}$이다. $\displaystyle r_n$은 $\displaystyle n$개의 유리창을 하나로 보았을 때 빛을 통과시키는 비율이므로, 빛의 양 $\displaystyle a$가 $\displaystyle n$개의 유리창을 통과한 후의 양 $\displaystyle p_n=r_na=\frac2{n+2}a$이다.