의·약학계 1번

[논제Ⅰ-1](1) 아래 그림과 같이 유리창1로 빛이 들어오는 구역을 A, 유리창2에서 빛이 통과하여 나가는 구역을 B라 두자. 유리창1로 들어오는 빛의 양 $\displaystyle a$는 $\displaystyle (1-r)a$는 A로 반사되고, $\displaystyle ra$는 유리창1을 통과한다. 유리창2에 $\displaystyle ra$가 들어가면 $\displaystyle (1-r)ra$는 반사되고, $\displaystyle r^2a$는 통과하여 B쪽으로 간다. 유리창2에서 반사된 $\displaystyle (1-r)ra$는 다시 유리창1로 들어가고, $\displaystyle (1-r)r^2a$는 유리창1을 통과하여 A쪽으로 가고, $\displaystyle (1-r)^2ra$는 반사된다. 반사된 $\displaystyle (1-r)^2ra$는 다시 유리창2로 들어가고, $\displaystyle (1-r)^2r^2a$는 유리창2를 통과하여 B쪽으로 가고, $\displaystyle (1-r)^3ra$는 반사된다. 이 과정을 계속 반복하면, 유리창2를 통과한 빛의 양은 첫째항이 $\displaystyle r^2a$이고 공비가 $\displaystyle (1-r)^2$인 등비급수이 된다.

따라서, B에서 빛의 양 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S=\frac{r^2a}{1-(1-r)^2}$이고 $\displaystyle S=\frac12a$를 풀면, $\displaystyle r=\frac23$이다.

(2) 빛을 통과시키는 비율이 $\displaystyle q_1,\ q_2$인 유리창 2개가 있다고 하자. (논제Ⅰ-1)에서와 같은 방법을 적용하여 빛의 양 $\displaystyle a$가 빛을 통과시키는 비율이 $\displaystyle q_1,\ q_2$인 유리창을 통과하여, B에 도달하는 양을 구할 수 있다. 즉, B에 도달하는 빛의 양 $\displaystyle S$는 첫째항이 $\displaystyle q_1q_2a$, 공비가 $\displaystyle (1-q_1)(1-q_2)$인 등비급수의 합이 된다.$\displaystyle S=\frac{q_1q_2}{1-(1-q_1)(1-q_2)}a=\frac{q_1q_2}{q_1+q_2-q_1q_2}a=\frac1{\frac1{q_1}+\frac1{q_2}-1}a$즉, 빛을 통과시키는 비율이 $\displaystyle q_1,\ q_2$인 두 개의 유리창을 하나로 보았을 때, 이 유리창이 빛을 통과시키는 비율 $\displaystyle r$은 $\displaystyle r=\frac1{\frac1{q_1}+\frac1{q_2}-1}$이 된다.

$\displaystyle n$개의 유리창이 있을 때, 첫 번째 유리창이 빛을 통과시키는 비율을 $\displaystyle q_1$이라두고, 두 번째에서 $\displaystyle n$번째까지 $\displaystyle n-1$개의 유리창을 하나로 보고 빛을 통과시키는 비율을 $\displaystyle q_2$로 둘 수 있다. $\displaystyle q_1=\frac23$이고 $\displaystyle q_2=r_{n-1}$이므로, ($\displaystyle r_{n-1}$을 유리창 $\displaystyle n-1$개를 하나로 보았을 때 빛을 통과시키는 비율이라 하자.) 위에서 계산한 식에 $\displaystyle q_1,\ q_2$를 대입하여 $\displaystyle r_n$을 구하면$\displaystyle r_n=\frac1{\frac32+\frac1{r_{n-1}}-1}=\frac1{\frac12+\frac1{r_{n-1}}}$이다.

이 식을 이용하면, $\displaystyle \frac1{r_n}=\frac12+\frac1{r_{n-1}}$이고, $\displaystyle a_n=\frac1{r_n}$은 첫째항이 $\displaystyle a_1=\frac32$이고 공차가 $\displaystyle \frac12$인 등차수열이다. 즉, $\displaystyle a_n=\frac{n+2}2$이고 $\displaystyle r_n=\frac2{n+2}$이다. $\displaystyle r_n$은 $\displaystyle n$개의 유리창을 하나로 보았을 때 빛을 통과시키는 비율이므로, 빛의 양 $\displaystyle a$가 $\displaystyle n$개의 유리창을 통과한 후의 양 $\displaystyle p_n=r_na=\frac2{n+2}a$이다.

(1) $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}n=\angle\mathrm P_1\mathrm O\mathrm P_2=\cdots=\angle\mathrm P_{n-1}\mathrm O\mathrm P_n=\angle\mathrm P_n\mathrm O\mathrm P_1$이라 하자. 매개변수 $\displaystyle t$가 동경 $\displaystyle \mathrm{OP}_1$이 나타내는 각의 크기일 때, 점 $\displaystyle \mathrm P_1$의 좌표 $\displaystyle (x_1,y_1)$을 나타내는 함수는 $\displaystyle x_1=f_1(t),\ y_1=g_1(t)$이고, 점 $\displaystyle \mathrm P_2$의 좌표 $\displaystyle (x_2,y_2)$를 나타내는 함수는 $\displaystyle x_2=f_2(t),\ y_2=g_2(t)$이다. 그림과 같이 $\displaystyle r=\overline{\mathrm{OP}_1}=\overline{\mathrm{OP}_2}$이라 하면 $\displaystyle f_1(t)=r\cos t,\ g_1(t)=r\sin t,\ f_2(t)=r\cos(t+\theta),\ g_2(t)=r\sin(t+\theta)$이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의해,$\displaystyle f_2=r\cos t\cos\theta-r\sin t\sin\theta=f_1\cos\theta-g_1\sin\theta,\ g_2=r\sin t\cos\theta+r\cos t\sin\theta=g_1\cos\theta+f_1\sin\theta$이다.$\displaystyle \frac{dy_1}{dx_1}=\frac{g_1^{\prime}}{f_1^{\prime}}$이 직선 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm P_2$의 기울기 $\displaystyle \frac{-g_1(1-\cos\theta)+f_1\sin\theta}{-f_1(1-\cos\theta)-g_1\sin\theta}$와 같으므로,$\displaystyle (f_1^{\prime}g_1-f_1g_1^{\prime})(1-\cos\theta)=(f_1f_1^{\prime}+g_1g_1^{\prime})\sin\theta$이다.

$\displaystyle f_1^{\prime}(t)=r^{\prime}\cos t-r\sin t,\ g_1^{\prime}(t)=r^{\prime}\sin t+r\cos t$이므로$\displaystyle f_1^{\prime}g_1-f_1g_1^{\prime}=-r^2$이고 $\displaystyle f_1f_1^{\prime}+g_1g_1^{\prime}=r^{\prime}r$이므로, $\displaystyle -r^2(1-\cos\theta)=r^{\prime}r\sin\theta$이다.$\displaystyle r>0$이므로, $\displaystyle \frac{r^{\prime}}r=-\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$이고, $\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1-\cos\frac{2\pi}n}{\sin\frac{2\pi}n}=\alpha$이므로 양변을 치환적분하면 $\displaystyle r=ke^{-\alpha t}$이고, $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle r=1$이므로, $\displaystyle k=1$이다. 따라서, $\displaystyle f_1(t)=e^{-\alpha t}\cos t,\ g_1(t)=e^{-\alpha t}\sin t$이다.

점 $\displaystyle \mathrm P_1$이 $\displaystyle y$축과 처음으로 만날 때는 $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때이므로, 점 $\displaystyle \mathrm P_1$이 움직인 거리는$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\sqrt{\{f_1^{\prime}(t)\}^2+\{g_1^{\prime}(t)\}^2}\,dt=\int_0^{\frac\pi2}\sqrt{\alpha^2+1}\,e^{-\alpha t}\,dt=\frac{\sqrt{\alpha^2+1}}\alpha\left(1-e^{-\frac{\pi\alpha}2}\right)$이다.

(2) 점 B의 좌표를 $\displaystyle \mathrm B\left(b,\frac1b\right)$라 하자. 점 A와 B를 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle y=-\frac1{ab}x+\frac1a+\frac1b$이다. 따라서 점들의 좌표 $\displaystyle \mathrm P\left(0,\frac1a+\frac1b\right)$와 $\displaystyle \mathrm Q(a+b,0)$을 얻을 수 있다.따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(a-b)^2+\left(\frac1a-\frac1b\right)^2}=\frac{|a-b|}{ab}\sqrt{1+a^2b^2}$이고, 점 B가 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=1$을 만족하는 경우,$\displaystyle |a-b|=\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}$를 얻는다.

이때 $\displaystyle a>b$이면 $\displaystyle a=b+\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}$이고, $\displaystyle a<b$이면 $\displaystyle b=a+\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}$이므로, 이를 다시 쓰면$\displaystyle \frac ba=\begin{cases}1-\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a>b)\\1+\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a<b)\end{cases}$이다. 여기서 $\displaystyle 0<\frac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}}<1$이므로, $\displaystyle 0<\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}<\frac1a$이고, 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac b{\sqrt{1+a^2b^2}}=0$을 얻는다. 따라서 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac ba=1$을 얻을 수 있고, 삼각형 OPQ의 넓이는$\displaystyle S(a)=\frac12\left(\frac1a+\frac1b\right)(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2ab}=\frac{\left(1+\frac ba\right)^2}{2\frac ba}$이므로, 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}S(a)=2$를 얻는다. 위 식을 $\displaystyle \frac ab$에 대해서 정리하면$\displaystyle \frac ab=\begin{cases}1+\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a>b)\\1-\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}&(a<b)\end{cases}$이다. 여기서 $\displaystyle 0<\frac1{\sqrt{1+a^2b^2}}<1$이므로, $\displaystyle 0<\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}<a$이고, 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to0}\frac a{\sqrt{1+a^2b^2}}=0$을 얻는다. 따라서 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to0}\frac ab=1$을 얻을 수 있고, 이를 이용하면$\displaystyle \lim_{a\to0}S(a)=\lim_{a\to0}\frac{\left(1+\frac ab\right)^2}{2\frac ab}=2$를 얻는다.