자연계열 (오후) 4번

[논제 Ⅳ](1) $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}n=\angle\mathrm P_1\mathrm O\mathrm P_2=\cdots=\angle\mathrm P_{n-1}\mathrm O\mathrm P_n=\angle\mathrm P_n\mathrm O\mathrm P_1$이라 하자. 매개변수 $\displaystyle t$가 동경 $\displaystyle \mathrm{OP}_1$이 나타내는 각의 크기일 때, 점 $\displaystyle \mathrm P_1$의 좌표 $\displaystyle (x_1,y_1)$을 나타내는 함수는 $\displaystyle x_1=f_1(t),\ y_1=g_1(t)$이고, 점 $\displaystyle \mathrm P_2$의 좌표 $\displaystyle (x_2,y_2)$를 나타내는 함수는 $\displaystyle x_2=f_2(t),\ y_2=g_2(t)$이다. 그림과 같이 $\displaystyle r=\overline{\mathrm{OP}_1}=\overline{\mathrm{OP}_2}$이라 하면 $\displaystyle f_1(t)=r\cos t,\ g_1(t)=r\sin t,\ f_2(t)=r\cos(t+\theta),\ g_2(t)=r\sin(t+\theta)$이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의해,$\displaystyle f_2=r\cos t\cos\theta-r\sin t\sin\theta=f_1\cos\theta-g_1\sin\theta,\ g_2=r\sin t\cos\theta+r\cos t\sin\theta=g_1\cos\theta+f_1\sin\theta$이다.$\displaystyle \frac{dy_1}{dx_1}=\frac{g_1^{\prime}}{f_1^{\prime}}$이 직선 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm P_2$의 기울기 $\displaystyle \frac{-g_1(1-\cos\theta)+f_1\sin\theta}{-f_1(1-\cos\theta)-g_1\sin\theta}$와 같으므로,Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: 접선이 수직이면 $\displaystyle f_1^{\prime}(t)=0$이므로 기울기 $\displaystyle \frac{g_1^{\prime}(t)}{f_1^{\prime}(t)}$를 쓸 수 없다. 이 문제에서는 $\displaystyle r>0$이므로 $\displaystyle \{f_1^{\prime}(t)\}^2+\{g_1^{\prime}(t)\}^2=\{r^{\prime}(t)\}^2+r^2>0$이다. 따라서 이 경우는 속도벡터가 영벡터인 경우가 아니라 실제 수직 접선이다. 접선 방향과 $\displaystyle \overrightarrow{P_1P_2}$가 평행하다는 조건을 분모 없이 쓰면 이 경우도 포함하여 같은 식과 최종 좌표식을 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle (f_1^{\prime}g_1-f_1g_1^{\prime})(1-\cos\theta)=(f_1f_1^{\prime}+g_1g_1^{\prime})\sin\theta$이다.

$\displaystyle f_1^{\prime}(t)=r^{\prime}\cos t-r\sin t,\ g_1^{\prime}(t)=r^{\prime}\sin t+r\cos t$이므로$\displaystyle f_1^{\prime}g_1-f_1g_1^{\prime}=-r^2$이고 $\displaystyle f_1f_1^{\prime}+g_1g_1^{\prime}=r^{\prime}r$이므로, $\displaystyle -r^2(1-\cos\theta)=r^{\prime}r\sin\theta$이다.$\displaystyle r>0$이므로, $\displaystyle \frac{r^{\prime}}r=-\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$이고, $\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1-\cos\frac{2\pi}n}{\sin\frac{2\pi}n}=\alpha$이므로 양변을 치환적분하면 $\displaystyle r=ke^{-\alpha t}$이고, $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle r=1$이므로, $\displaystyle k=1$이다. 따라서, $\displaystyle f_1(t)=e^{-\alpha t}\cos t,\ g_1(t)=e^{-\alpha t}\sin t$이다.

(2) $\displaystyle s(u)=\int_0^u\sqrt{\{f_1^{\prime}(t)\}^2+\{g_1^{\prime}(t)\}^2}\,dt=\int_0^u\sqrt{\alpha^2+1}\,e^{-\alpha t}\,dt$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{\alpha^2+1}}\alpha(1-e^{-\alpha u})$이므로,$\displaystyle \lim_{u\to\infty}s(u)=\frac{\sqrt{\alpha^2+1}}\alpha$이다.