의·약학계 1번

[논제 Ⅰ-1] 공 세 개가 들어있는 투명 직육면체를 정면에서 바라보면 다음 그림과 같다. 붉은 선은 태양광선을 뜻한다.

(1) 초록색 선에 의해서 만들어진 직각삼각형의 빗변의 길이가 2, 밑변의 길이가 1이므로 각 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle 60^\circ$임을 알 수 있다. 직육면체의 높이는 $\displaystyle 2+2\sqrt3$.

(2) 태양광선 방향에서 본 공의 모양은 다음과 같다.

단면의 넓이를 구하기 위해 세 원의 넓이에서 두 원이 겹쳐진 부분의 넓이, 즉, 주황색으로 색칠된 곳의 넓이를 구해서 2배 후 빼면 된다. <그림 2>의 부채꼴의 사잇각 $\displaystyle \theta^{\prime}$는 <그림 1>으로부터 $\displaystyle \theta^{\prime}=2\theta=120^\circ$임을 확인할 수 있다. 색칠된 부분의 넓이는 반지름이 1이고, 사잇각이 $\displaystyle 120^\circ$인 부채꼴의 넓이에서 주황색 삼각형(두 변의 길이가 1이고 그 사잇각이 $\displaystyle 120^\circ$인 삼각형)의 넓이를 빼서 구할 수 있다.$\displaystyle \frac13\pi-\frac12\sin\frac{2\pi}3=\frac13\pi-\frac{\sqrt3}4.$따라서 <그림 2>의 단면의 넓이는 $\displaystyle 3\pi-2\left(\frac13\pi-\frac{\sqrt3}4\right)=\frac73\pi+\frac{\sqrt3}2$이고, 마지막으로 <그림 3>과 같이 (푸른 색 선으로 표현된) 단면의 넓이로부터 지면에 드리워진 그림자의 넓이를 구할 수 있다.$\displaystyle \left(\frac73\pi+\frac{\sqrt3}2\right)\div\cos\frac\pi3=\frac{14}3\pi+\sqrt3.$

[논제 Ⅰ-2](1) 중심이 $\displaystyle \mathrm C_1$인 원이 부채꼴과 접하는 점들을 그림과 같이 각각 D, E, F라 하면, 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}_1$의 연장선과 호 AB가 D에서 만난다.

$\displaystyle \overline{\mathrm C_1\mathrm D}=\overline{\mathrm C_1\mathrm F}=r_1$이고, $\displaystyle \angle\mathrm{BOD}=\theta$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm C_1\mathrm{OF}$에서 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\overline{\mathrm C_1\mathrm F}}{\overline{\mathrm{OC}_1}}=\frac{r_1}{1-r_1}$을 만족하므로, $\displaystyle r_1=\frac{\sin\theta}{1+\sin\theta}$가 된다.

자연수 $\displaystyle n$에 대해서, 중심이 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}$인 원은 중심이 $\displaystyle \mathrm C_n$인 원과 접하므로, $\displaystyle \sin\theta=\frac{r_n-r_{n+1}}{r_n+r_{n+1}}$을 만족한다. 따라서, $\displaystyle r_{n+1}=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}r_n$을 만족한다. 중심이 $\displaystyle \mathrm C_n$인 원의 넓이를 $\displaystyle A_n$이라 하면, 수열 $\displaystyle \{A_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle \pi r_1^2=\pi\left(\frac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\right)^2$이고 공비가 $\displaystyle \left(\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}\right)^2$인 등비수열이 된다.따라서, 모든 원의 넓이의 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n=\frac{\pi\left(\frac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\right)^2}{1-\left(\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}\right)^2}=\frac\pi4\sin\theta$가 된다.

(2) 수열 $\displaystyle \{r_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle r_1$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$인 등비수열이므로, $\displaystyle r_n=r_1\left(\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}\right)^{n-1}=\frac{\sin\theta(1-\sin\theta)^{n-1}}{(1+\sin\theta)^n}$이다. 따라서, $\displaystyle r_{100}=\frac{\sin\theta(1-\sin\theta)^{99}}{(1+\sin\theta)^{100}}=f(\theta)$이다.$\displaystyle x=\sin\theta$라 하고, $\displaystyle g(x)=\frac{x(1-x)^{99}}{(1+x)^{100}}$라 하면, $\displaystyle f(\theta)=g(\sin\theta)$이다. 그러면, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=g^{\prime}(\sin\theta)\cos\theta$이고, $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle \cos\theta>0$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$이면 $\displaystyle g^{\prime}(\sin\theta)=0$이다. $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle x=\sin\theta$는 $\displaystyle 0<x<1$을 만족하므로, $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$이 되는 $\displaystyle x$를 계산하자.$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac d{dx}\left(\frac{x(1-x)^{99}}{(1+x)^{100}}\right)=\frac{\big((1-x)^{99}-99x(1-x)^{98}\big)(1+x)^{100}-100x(1-x)^{99}(1+x)^{99}}{(1+x)^{200}}$가 되어 이를 정리하면, $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{(1-x)^{98}\{(1+x)(1-100x)-100x(1-x)\}}{(1+x)^{101}}=\frac{(1-x)^{98}\{1-199x\}}{(1+x)^{101}}$가 된다. $\displaystyle \sin\theta=\frac1{199}$를 만족하는 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$는 $\displaystyle \sin\theta$가 증가함수이므로 유일하게 존재하고, 이를 $\displaystyle \theta_0$이라 하자. $\displaystyle \theta<\theta_0$이면, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)>0$이고, $\displaystyle \theta>\theta_0$이면, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)<0$이므로, $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\theta_0$에서 극댓값을 갖고 이는 최댓값이 된다.즉, $\displaystyle r_{100}$은 $\displaystyle \sin\theta=\frac1{199}$일 때 최대가 된다. 이때, $\displaystyle r_1=\frac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=\frac{\frac1{199}}{1+\frac1{199}}=\frac1{200}$이 된다.