자연계열 3번

[논제 Ⅲ](1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PFF}^{\prime}$의 외접원의 중심 A는 점 F와 점 $\displaystyle \mathrm F^{\prime}$에서 부터의 거리가 같아야 하므로, 선분 $\displaystyle \mathrm F^{\prime}\mathrm F$의 수직이등분선, 즉 $\displaystyle y$축 위에 있어야 한다. 따라서 $\displaystyle k=0$이고, $\displaystyle \mathrm A(0,l)$로 둘 수 있다. 한편, $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{AP}}$이므로,$\displaystyle \sqrt{c^2+l^2}=\sqrt{(l-q)^2+p^2}$이다. 이를 풀면, $\displaystyle l=\frac{p^2+q^2-c^2}{2q}=\frac{\frac{a^2}{b^2}q^2+a^2+q^2-c^2}{2q}=\frac{c^2q^2-b^4}{2b^2q}$가 된다.따라서, $\displaystyle q>0$이므로, A의 $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle l$이 양수이기 위한 $\displaystyle q$의 조건은 $\displaystyle q>\frac{b^2}c$가 된다.

(2) $\displaystyle q$가 양의 무한대로 발산하는 극한을 구해야 하므로, 일반성을 잃지 않고, $\displaystyle q>\frac{b^2}c$인 경우를 생각해도 충분하다.이때, 원점을 O라 하면, 원주각과 중심각의 성질에 의해 $\displaystyle \angle\mathrm{FAO}=\beta,\ \angle\mathrm{PAF}=2\alpha$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{PAO}=2\alpha+\beta$가 된다. 따라서, 구하고자 하는 극한은$\displaystyle \lim_{y\to\infty}\cos(\angle\mathrm{PAO})$Correction. 첫 번째 극한의 $\displaystyle y$는 $\displaystyle q$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 그런데, 점 P의 $\displaystyle y$좌표와 점 A의 $\displaystyle y$좌표의 차이를 계산해보면,$\displaystyle q-\frac{c^2q^2-b^4}{2b^2q}=\frac{(b^2-a^2)q^2+b^4}{2b^2q}$이다. 따라서, 주어진 조건대로 $\displaystyle a>b>0$이면, $\displaystyle q>\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$일 때 A의 $\displaystyle y$좌표가 P의 $\displaystyle y$좌표보다 크다. 따라서, 충분히 큰 $\displaystyle q$에 대해 $\displaystyle \angle\mathrm{PAO}$는 예각이다. 따라서 이 경우에는$\displaystyle \cos(2\alpha+\beta)=\frac{\text{A의 }y\text{좌표}-\text{P의 }y\text{좌표}}{\overline{\mathrm{AP}}}$이므로,$\displaystyle \cos(2\alpha+\beta)=\frac{\frac{(a^2-b^2)q^2-b^4}{2b^2q}}{\sqrt{p^2+\left(\frac{(b^2-a^2)q^2+b^4}{2b^2q}\right)^2}}=\frac{\frac{(a^2-b^2)q^2-b^4}{2b^2q}}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}q^2+a^2+\left(\frac{(b^2-a^2)q^2+b^4}{2b^2q}\right)^2}}$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{q\to\infty}\cos(2\alpha+\beta)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac{\frac{a^2}{b^2}-1}{\frac{a^2}{b^2}+1}$이고,$\displaystyle f(t)=\frac{t^2-1}{t^2+1}$이다. 그러므로, 구하고자 하는 부정적분은$\displaystyle \int tf(t)\,dt=\int t\frac{t^2-1}{t^2+1}\,dt=\int t\left(1-\frac2{t^2+1}\right)dt=\frac{t^2}2-\log(1+t^2)+C$Comment. 여기서 $\displaystyle \log$는 자연로그 $\displaystyle \ln$을 뜻한다. 상용로그로 읽으면 미분한 결과가 피적분함수와 달라진다.이다.