수리논술, 이게 다다.

자연계열 2-1번

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경희대 2026학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2026mo/jayeon_2_1

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※ 다음 제시문을 읽고 다음 질문에 답하시오.

[나] 삼각함수의 덧셈정리① sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta② cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta③ tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

[다] 평면 β\displaystyle \beta 위에 있는 도형의 넓이를 S\displaystyle S, 이 도형의 평면 α\displaystyle \alpha 위로의 정사영의 넓이를 S′\displaystyle S^{\prime}이라고 할 때, 두 평면 α,β\displaystyle \alpha,\beta가 이루는 각의 크기를 θ (0∘≤θ≤90∘)\displaystyle \theta\ (0^\circ\le\theta\le90^\circ)라고 하면S′=Scos⁡θ.\displaystyle S^{\prime}=S\cos\theta.

[논제 Ⅱ] 반지름의 길이가 2인 원 O\displaystyle O 위에 서로 다른 네 점 A,B,C,D가 순서대로 시계 반대 방향으로 놓여있다. AB‾=CD‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=2이고, 두 직선 AB와 CD가 이루는 예각의 크기가 π6\displaystyle \frac\pi6일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) BC‾>AD‾\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}>\overline{\mathrm{AD}}일 때, 선분 BC의 길이와 사각형 ABCD의 넓이를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (16점)

해설강의 준비중

경희대 2026학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2026mo/jayeon_2_1

+4점 · ∠ABC=∠DCB=512π\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{DCB}=\frac5{12}\pi임을 확인한다.

논제 Ⅱ-(1)AB^=DC^\displaystyle \widehat{\mathrm{AB}}=\widehat{\mathrm{DC}}이므로 두 원주각은 ∠ADB=∠DBC\displaystyle \angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{DBC}이고, 이에 따라 선분 AD와 BC는 평행이므로 사각형 ABCD는 AB‾=DC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DC}}인 사다리꼴이다. 따라서 ∠ABC=∠DCB\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{DCB}. 직선 AB와 직선 CD가 점 I에서 만난다고 하면, BC‾>AD‾\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}>\overline{\mathrm{AD}}이므로 <그림1>과 같이 두 직선의 교점이 점 A와 점 D에 가까운 곳에 생기고, ∠AID=π6\displaystyle \angle\mathrm{AID}=\frac\pi6이므로 ∠ABC=∠DCB=512π\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{DCB}=\frac5{12}\pi.

그림 1: 원 O에 내접하는 등변사다리꼴 ABCD
+12점 · 선분 BC의 길이와 사각형 ABCD의 넓이를 구한다.

원 O\displaystyle O의 중심을 O라고 할 때, 삼각형 AOB와 DOC가 정삼각형이므로 ∠OBC=∠OCB=π12\displaystyle \angle\mathrm{OBC}=\angle\mathrm{OCB}=\frac\pi{12}이고, 따라서 ∠BOC=56π, ∠AOD=π2\displaystyle \angle\mathrm{BOC}=\frac56\pi,\ \angle\mathrm{AOD}=\frac\pi2이므로 직각삼각형 AOD로부터 AD‾=22\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}=2\sqrt2.또한 ∠ABC=512π\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\frac5{12}\pi로부터 사다리꼴 ABCD의 높이 y\displaystyle y에 대해 y2=sin⁡(∠ABC)=sin⁡(512π)\displaystyle \frac y2=\sin(\angle\mathrm{ABC})=\sin\left(\frac5{12}\pi\right), 밑변의 길이 BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}에 대하여 x=12(BC‾−AD‾)\displaystyle x=\frac12(\overline{\mathrm{BC}}-\overline{\mathrm{AD}})라고 하면 x2=cos⁡(∠ABC)=cos⁡(512π)\displaystyle \frac x2=\cos(\angle\mathrm{ABC})=\cos\left(\frac5{12}\pi\right). 이때 512π=π6+π4\displaystyle \frac5{12}\pi=\frac\pi6+\frac\pi4이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의해 y=22(1+3), x=22(3−1)\displaystyle y=\frac{\sqrt2}2(1+\sqrt3),\ x=\frac{\sqrt2}2(\sqrt3-1).따라서 BC‾=AD‾+2x=2+6\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AD}}+2x=\sqrt2+\sqrt6이고, 사각형 ABCD 넓이는 12(AD‾+BC‾)y=3+23\displaystyle \frac12(\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{BC}})y=3+2\sqrt3.

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