자연계열 1번

논제 Ⅰ-(1)$\displaystyle f(x)$는 연속확률변수 $\displaystyle X$의 확률밀도함수이므로, $\displaystyle f(x)$의 그래프, $\displaystyle x$축, 및 직선 $\displaystyle x=0,\ x=1$로 둘러싸인 영역의 넓이는 1이다. 이 영역의 넓이를 $\displaystyle 0\le x\le a,\ a\le x\le1-a$, 그리고 $\displaystyle 1-a\le x\le1$의 세 영역으로 나누어 넓이를 계산하면, 그 넓이는$\displaystyle \frac12\times a\times am+\frac12\times(am+2am)\times(1-2a)+\frac12\times a\times2am=\frac32m(a-a^2).$따라서, $\displaystyle \frac32m(a-a^2)=1$이고, $\displaystyle m=\frac2{3a(1-a)}$.

한편, $\displaystyle \mathrm P\left(0\le X\le\frac12\right)=\frac38$이고, $\displaystyle 0<a<\frac12$이므로,$\displaystyle \frac12a\times am+\frac12\times\left(am+\frac32am\right)\times\left(\frac12-a\right)=ma\left(\frac58-\frac34a\right)=\frac38.$$\displaystyle m=\frac2{3a(1-a)}$이므로, 이를 위 등식에 대입하면 $\displaystyle \frac2{3(1-a)}\left(\frac58-\frac34a\right)=\frac38$이고, 이를 정리하면,$\displaystyle \frac58-\frac34a=\frac9{16}-\frac9{16}a$, 즉 $\displaystyle a=\frac13$이고, 따라서 $\displaystyle m=3$이다.

논제 Ⅰ-(2)$\displaystyle \mathrm P(x\le X\le1)=1-\mathrm P(0\le X\le x)$이므로, $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le x)\times\mathrm P(x\le X\le1)$의 값은 $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le x)(1-\mathrm P(0\le X\le x))$의 값과 같다. $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le x)$의 값을 $\displaystyle t$라 두면, 최대로 하고자 하는 값은 $\displaystyle t(1-t)$로 표현할 수 있으며, 이는 $\displaystyle t=\frac12$일 때 최대가 된다. 따라서,$\displaystyle \mathrm P(0\le X\le x)\times\mathrm P(x\le X\le1)$의 값이 최대가 되는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le x)=\frac12$인 $\displaystyle x$가 된다.

한편 (1)에서 구한 $\displaystyle a$와 $\displaystyle m$의 값에 의해, 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=\begin{cases}3x,&0\le x\le\frac23,\\6-6x,&\frac23<x\le1.\end{cases}$그런데, $\displaystyle \mathrm P\left(0\le X\le\frac23\right)=\frac23$이므로, $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le x)=\frac12$이 성립하려면, $\displaystyle x<\frac23$이고, 이때 $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le x)=\frac12\times x\times3x=\frac32x^2$이다. 따라서, 주어진 값을 최대로 하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle x=\frac1{\sqrt3}$이다.