경희대 2026학년도 모의 자연계열 2-2번 해설

※ 다음 제시문을 읽고 다음 질문에 답하시오.

[나] 삼각함수의 덧셈정리① $\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ ② $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ ③ $\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ $\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

[다] 평면 $\displaystyle \beta$ 위에 있는 도형의 넓이를 $\displaystyle S$ , 이 도형의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영의 넓이를 $\displaystyle S^{\prime}$ 이라고 할 때, 두 평면 $\displaystyle \alpha,\beta$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta\ (0^\circ\le\theta\le90^\circ)$ 라고 하면 $\displaystyle S^{\prime}=S\cos\theta.$

[논제 Ⅱ] 반지름의 길이가 2인 원 $\displaystyle O$ 위에 서로 다른 네 점 A,B,C,D가 순서대로 시계 반대 방향으로 놓여있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=2$ 이고, 두 직선 AB와 CD가 이루는 예각의 크기가 $\displaystyle \frac\pi6$ 일 때, 다음 물음에 답하시오.

(2) 원 $\displaystyle O$ 를 밑면으로 하고 높이가 3인 원기둥을 생각하고, 이때 다른 밑면인 원의 중심을 P라 하자. 원기둥을 선분 AB와 점 P를 지나는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 넓이를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (17점)

경희대 2026학년도 모의 자연계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2026mo/jayeon_2_2

+8점 · 구하고자 하는 단면의 정사영된 영역의 넓이를 구한다.

논제 Ⅱ-(2)<그림2>와 같이 원 $\displaystyle O$ 를 아래 밑면으로 하는 원기둥을 생각하고, 구하고자 하는 단면을 원기둥의 밑면으로 정사영한 영역의 넓이를 $\displaystyle S$ 라고 하자. $\displaystyle S$ 는 (반지름이 2인 반원의 넓이)-(부채꼴 AOB의 넓이)+(삼각형 AOB의 넓이)이다. 삼각형 AOB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로, $\displaystyle S=\frac43\pi+\sqrt3$ .

+9점 · 단면과 밑면 사이의 이면각을 활용하여 단면의 넓이를 구한다.

한편, 선분 AB를 포함하는 밑면과 구하고자 하는 단면 사이의 이면각을 $\displaystyle \theta$ 라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=3$ 이고, 점 O로부터 선분 AB까지의 길이는 $\displaystyle \sqrt3$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$ 이다. 따라서 구하고자 하는 단면의 넓이는 정사영된 단면의 넓이 $\displaystyle S$ 로부터 $\displaystyle S\div\cos\theta=\frac83\pi+2\sqrt3$ .

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자연계열 2-2번

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