자연계열 2번

논제 Ⅱ-(1)$\displaystyle \widehat{\mathrm{AB}}=\widehat{\mathrm{DC}}$이므로 두 원주각은 $\displaystyle \angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{DBC}$이고, 이에 따라 선분 AD와 BC는 평행이므로 사각형 ABCD는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DC}}$인 사다리꼴이다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{DCB}$. 직선 AB와 직선 CD가 점 I에서 만난다고 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}>\overline{\mathrm{AD}}$이므로 <그림1>과 같이 두 직선의 교점이 점 A와 점 D에 가까운 곳에 생기고, $\displaystyle \angle\mathrm{AID}=\frac56\pi$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{DCB}=\frac5{12}\pi$.Correction. 대학 예시답안의 $\displaystyle \angle\mathrm{AID}=\frac56\pi$는 $\displaystyle \angle\mathrm{AID}=\frac\pi6$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

원 $\displaystyle O$의 중심을 O라고 할 때, 삼각형 AOB와 DOC가 정삼각형이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{OBC}=\angle\mathrm{OCB}=\frac5{12}\pi$이고, 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{BOC}=\frac56\pi,\ \angle\mathrm{AOD}=\frac\pi2$이므로 직각삼각형 AOD로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}=2\sqrt2$.Correction. 대학 예시답안의 $\displaystyle \angle\mathrm{OBC}=\angle\mathrm{OCB}=\frac5{12}\pi$는 $\displaystyle \angle\mathrm{OBC}=\angle\mathrm{OCB}=\frac1{12}\pi$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.또한 $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=\frac5{12}\pi$로부터 사다리꼴 ABCD의 높이 $\displaystyle y$에 대해 $\displaystyle \frac y2=\sin(\angle\mathrm{ABC})=\sin\left(\frac5{12}\pi\right)$, 밑변의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$에 대하여 $\displaystyle x=\frac12(\overline{\mathrm{BC}}-\overline{\mathrm{AD}})$라고 하면 $\displaystyle \frac x2=\cos(\angle\mathrm{ABC})=\cos\left(\frac5{12}\pi\right)$. 이때 $\displaystyle \frac5{12}\pi=\frac\pi6+\frac\pi4$이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의해 $\displaystyle y=\frac{\sqrt2}2(1+\sqrt3),\ x=\frac{\sqrt2}2(\sqrt3-1)$.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AD}}+2x=\sqrt2+\sqrt6$이고, 사각형 ABCD 넓이는 $\displaystyle \frac12(\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{BC}})y=3+2\sqrt3$.

논제 Ⅱ-(2)<그림2>와 같이 원 $\displaystyle O$를 아래 밑면으로 하는 원기둥을 생각하고, 구하고자 하는 단면을 원기둥의 밑면으로 정사영한 영역의 넓이를 $\displaystyle S$라고 하자. $\displaystyle S$는 (반지름이 2인 반원의 넓이)-(부채꼴 AOB의 넓이)+(삼각형 AOB의 넓이)이다. 삼각형 AOB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로, $\displaystyle S=\frac43\pi+\sqrt3$.

한편, 선분 AB를 포함하는 밑면과 구하고자 하는 단면 사이의 이면각을 $\displaystyle \theta$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=3$이고, 점 O로부터 선분 AB까지의 길이는 $\displaystyle \sqrt3$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$이다. 따라서 구하고자 하는 단면의 넓이는 정사영된 단면의 넓이 $\displaystyle S$로부터 $\displaystyle S\div\cos\theta=\frac83\pi+2\sqrt3$.