자연계열 3번

논제 Ⅲ-(1)점 P에서 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle x_0x+y_0y=1.$이 직선과 직선 $\displaystyle y=-1$의 교점은 $\displaystyle \left(\frac{y_0+1}{x_0},-1\right)$이므로, 점 Q의 좌표를 얻었다.

원 $\displaystyle O_n$의 중심을 $\displaystyle \mathrm R_n$라고 하고 원 $\displaystyle O_n$의 반지름을 $\displaystyle r_n$이라고 하자. $\displaystyle \mathrm R_1$을 지나는 $\displaystyle x$축과 평행인 직선을 그어서 $\displaystyle y$축과 만나는 점을 B이라고 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}Q}:\overline{\mathrm P^{\prime}R_0}=\frac{y_0+1}{x_0}:1$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BR}_0\mathrm R_1$과 삼각형 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}R_0Q$는 닮음이고 선분 $\displaystyle \mathrm{BR}_0$의 길이는 $\displaystyle 1-r_1$이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{BR}_1$의 길이는 $\displaystyle \frac{y_0+1}{x_0}(1-r_1)$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm R_0R_1$의 길이는 두 원의 반지름의 합이므로 $\displaystyle 1+r_1$이다. 따라서, 피타고라스 정리를 이용하면 다음을 얻는다.$\displaystyle r_1=\frac{\sqrt{\left(\frac{y_0+1}{x_0}\right)^2+1}-1}{\sqrt{\left(\frac{y_0+1}{x_0}\right)^2+1}+1}.$

논제 Ⅲ-(2)인접한 원들 간의 닮음비는 모두 같으므로 원 $\displaystyle O_n$의 넓이는 $\displaystyle \pi r_1^{2n}$이다. 따라서 원 $\displaystyle O_1,O_2,\cdots$의 넓이는 첫째항이 $\displaystyle \pi r_1^2$이고 공비가 $\displaystyle r_1^2$인 등비수열이다. 따라서 이 등비수열의 합은 $\displaystyle \frac{\pi r_1^2}{1-r_1^2}$이다.

급수의 합이 $\displaystyle \frac\pi8$이므로, $\displaystyle r_1$은 $\displaystyle \frac13$이다. 이 조건과 문제 (1)의 결과를 이용하여 $\displaystyle \left(\frac{y_0+1}{x_0}\right)^2$를 계산하면 3이고 $\displaystyle x_0$와 $\displaystyle y_0+1$는 모두 양수이므로 $\displaystyle y_0+1=\sqrt3x_0$이 성립한다. $\displaystyle (x_0,y_0)$는 원 위의 점이므로 원의 방정식에 의해 $\displaystyle x_0^2+y_0^2=1$이다. 이 두 식에 의해서 $\displaystyle (x_0,y_0)$의 좌표를 구하면 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)$이다.