논술 이심률

* 이심률

평면 위의 한 점 $\displaystyle F$와 이 점을 지나지 않는 직선 $\displaystyle l$을 잡자.점 $\displaystyle P$에서 직선 $\displaystyle l$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 할 때,$\displaystyle \frac{\overline{PF}}{\overline{PH}}=e\qquad(e>0)$를 만족하는 점 $\displaystyle P$의 자취를 생각하자. 이때 $\displaystyle F$를 초점, $\displaystyle l$을 준선, 일정한 거리의 비 $\displaystyle e$를 이심률이라고 한다.

이심률에 따라 자취는 다음과 같이 달라진다.$\displaystyle \begin{array}{c|c}0<e<1 & \text{타원}\\ e=1 & \text{포물선}\\ e>1 & \text{쌍곡선}\end{array}$

포물선에서는 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다. 이 조건을 ‘두 거리의 비가 일정하다’로 넓히면 타원과 쌍곡선도 함께 설명할 수 있다.

* 타원과 쌍곡선의 이심률

타원$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>b>0)$의 초점을 $\displaystyle (\pm c,0)$이라 하면 $\displaystyle c^2=a^2-b^2$이므로, 이심률은$\displaystyle e=\frac ca=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$이다. 따라서 $\displaystyle 0<e<1$이다. $\displaystyle e$가 $\displaystyle 0$에 가까울수록 원에 가깝고, $\displaystyle 1$에 가까울수록 장축에 비해 단축이 짧아진다. 원은 두 초점이 일치하는 타원으로 보아 이심률을 $\displaystyle 0$으로 정한다.

쌍곡선$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>0,\ b>0)$의 초점을 $\displaystyle (\pm c,0)$이라 하면 $\displaystyle c^2=a^2+b^2$이므로, 이심률은$\displaystyle e=\frac ca=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>1$이다.

두 경우 모두 초점 $\displaystyle (c,0)$에 대응하는 준선은$\displaystyle x=\frac{a^2}{c}=\frac ae$이고, 초점 $\displaystyle (-c,0)$에 대응하는 준선은 $\displaystyle x=-\frac ae$이다.

* 하나의 식으로 보는 이차곡선

다음 방정식을 생각하자.$\displaystyle x^2+y^2=(ex+1)^2\qquad(e\ge0)$

$\displaystyle e>0$일 때 이 식은$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=e\left|x+\frac1e\right|$로 쓸 수 있다. 왼쪽은 점 $\displaystyle (x,y)$에서 원점까지의 거리이고, 오른쪽은 직선 $\displaystyle x=-\frac1e$까지의 거리의 $\displaystyle e$배이다. 따라서 초점이 원점이고 이심률이 $\displaystyle e$인 이차곡선이다.$\displaystyle \begin{array}{c|c}e=0 & \text{원}\\ 0<e<1 & \text{타원}\\ e=1 & \text{포물선}\\ e>1 & \text{쌍곡선}\end{array}$

$\displaystyle e=0$인 경우에는 원래 방정식이 $\displaystyle x^2+y^2=1$이 된다.