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자연계열 B 2번

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세종대 2020학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2020su/jayeonb_2

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 답하시오.

(가) 원 C는 중심이 (0,1)\displaystyle (0,1)이고 반지름이 12\displaystyle \frac12이다. A\displaystyle A는 다음을 만족하는 점 (x,y)\displaystyle (x,y)들의 집합이다.

• y≥0\displaystyle y\ge0

• 점 (x,y)\displaystyle (x,y)로부터 원 C까지의 최단 거리는 점 (x,y)\displaystyle (x,y)로부터 직선 y=−14\displaystyle y=-\frac14까지 거리의 2배이다.

(나) 양의 실수 a\displaystyle a에 대하여 원 D는 중심이 (a,−74)\displaystyle \left(a,-\frac74\right)이고 반지름이 12\displaystyle \frac12이다. B\displaystyle B는 다음을 만족하는 점 (x,y)\displaystyle (x,y)들의 집합이다.

• y≥0\displaystyle y\ge0

• 점 (x,y)\displaystyle (x,y)로부터 원 D까지의 최단 거리는 점 (x,y)\displaystyle (x,y)로부터 x\displaystyle x축까지 거리의 2배이다.

실수에서 정의되는 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여, 집합 A\displaystyle A는 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프이고 집합 B\displaystyle B는 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프이다.

(2-1) y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프의 점근선을 구하시오. (70점)

(2-2) 정적분 ∫aa+1(x−a)g(x) dx\displaystyle \int_a^{a+1}(x-a)g(x)\,dx를 계산하시오. (80점)

(2-3) 모든 x\displaystyle x에 대하여 f(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le g(x)를 만족하는 a\displaystyle a의 최댓값을 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

논술 이심률

관련 개념강의 준비중

세종대 2020학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2020su/jayeonb_2

[문제 2]

(2-1) y=f(x)\displaystyle y=f(x)라 하면 문제의 조건에서 ∣x2+(y−1)2−12∣=2(y+14)\displaystyle \left|\sqrt{x^2+(y-1)^2}-\frac12\right|=2\left(y+\frac14\right)를 얻는다.

x2+(y−1)2≥12\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}\ge\frac12일 경우 x2+(y−1)2−12=2(y+14)\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}-\frac12=2\left(y+\frac14\right)에서 x23−(y+1)2=−1\displaystyle \frac{x^2}3-(y+1)^2=-1을 얻는다.

40점 · x2+(y−1)2≥12\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}\ge\frac12인 경우와 x2+(y−1)2<12\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}<\frac12인 경우를 모두 확인하고 x23−(y+1)2=−1\displaystyle \frac{x^2}3-(y+1)^2=-1 또는 식 y=−1+x23+1\displaystyle y=-1+\sqrt{\frac{x^2}3+1}을 구하면

x2+(y−1)2<12\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}<\frac12일 경우 12−x2+(y−1)2=2(y+14)\displaystyle \frac12-\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2\left(y+\frac14\right)에서 −2y=x2+(y−1)2\displaystyle -2y=\sqrt{x^2+(y-1)^2}을 얻는데 y≥0\displaystyle y\ge0이므로 이런 경우는 불가능하다. 따라서 y=f(x)\displaystyle y=f(x)는 쌍곡선 x23−(y+1)2=−1\displaystyle \frac{x^2}3-(y+1)^2=-1의 y≥0\displaystyle y\ge0인 부분이다.

70점 · 점근선 y=±13x−1\displaystyle y=\pm\frac1{\sqrt3}x-1을 모두 구하면 70점, 하나만 구하면 60점

y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프의 점근선은 y=±13x−1\displaystyle y=\pm\frac1{\sqrt3}x-1이다.

(2-2) y=g(x)\displaystyle y=g(x)라 하면 문제의 조건에서 (x−a)2+(y+74)2−12=2y\displaystyle \sqrt{(x-a)^2+\left(y+\frac74\right)^2}-\frac12=2y를 얻는다.

(x−a)2+(y+74)2=2y+12\displaystyle \sqrt{(x-a)^2+\left(y+\frac74\right)^2}=2y+\frac12의 양변을 제곱하여 (x−a)23−(y−14)2=−1\displaystyle \frac{(x-a)^2}3-\left(y-\frac14\right)^2=-1을 얻는다.

30점 · g(x)=(x−a)23+1+14\displaystyle g(x)=\sqrt{\frac{(x-a)^2}3+1}+\frac14을 구하면

따라서 g(x)=(x−a)23+1+14\displaystyle g(x)=\sqrt{\frac{(x-a)^2}3+1}+\frac14이고,

80점 · 적분값 833−78=839−78\displaystyle \frac8{3\sqrt3}-\frac78=\frac{8\sqrt3}9-\frac78을 구하면

u=(x−a)23+1\displaystyle u=\frac{(x-a)^2}3+1 치환적분에 의하여∫aa+1(x−a)g(x) dx=833−78=839−78\displaystyle \int_a^{a+1}(x-a)g(x)\,dx=\frac8{3\sqrt3}-\frac78=\frac{8\sqrt3}9-\frac78을 얻는다.

(2-3) f(x)=x23+1−1\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x^2}3+1}-1, g(x)=(x−a)23+1+14\displaystyle g(x)=\sqrt{\frac{(x-a)^2}3+1}+\frac14라 하면 g(x)=f(x−a)+54\displaystyle g(x)=f(x-a)+\frac54이다. 따라서 g′(x)=f′(x−a)\displaystyle g\prime(x)=f\prime(x-a)이며 h(x)=g(x)−f(x)\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)라두면, h′(x)=f′(x−a)−f′(x)\displaystyle h\prime(x)=f\prime(x-a)-f\prime(x)이다.

f′′(x)=3(3+x2)3/2>0\displaystyle f\prime\prime(x)=\frac{\sqrt3}{(3+x^2)^{3/2}}>0이므로 f′(x)\displaystyle f\prime(x)가 증가함수인데 x−a<x\displaystyle x-a<x이므로 항상 h′(x)<0\displaystyle h\prime(x)<0이고 h(x)\displaystyle h(x)는 감소함수이다.

60점 · lim⁡x→∞h(x)=−a3+54\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=-\frac a{\sqrt3}+\frac54을 구하면

그런데 lim⁡x→∞h(x)=lim⁡x→∞((x−a)23+1−x23+1+54)=−a3+54\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{\frac{(x-a)^2}3+1}-\sqrt{\frac{x^2}3+1}+\frac54\right)=-\frac a{\sqrt3}+\frac54이므로 항상 h(x)>0\displaystyle h(x)>0이기 위해서는 −a3+54≥0\displaystyle -\frac a{\sqrt3}+\frac54\ge0이어야 한다.

80점 · 답 534\displaystyle \frac{5\sqrt3}4을 구하면

따라서 a\displaystyle a의 최댓값으로 534\displaystyle \frac{5\sqrt3}4를 얻는다.

(2-1) x2+(y−1)2<12\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}<\frac12인 경우를 확인하지 않고 x23−(y+1)2=−1\displaystyle \frac{x^2}3-(y+1)^2=-1을 구하면 30점

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