자연계열 3번

(가) 갈릴레이와 비슷한 시기에 살았던 독일의 천문학자 케플러는 행성의 공전 궤도가 원이라고 생각하고 수학을 통해 행성의 정확한 궤도를 구하려고 노력하였다. 천재적인 천체 관측가였던 브라헤는 화성의 정확한 궤도를 구하기 위하여 화성의 위치 변화를 16년간이나 정밀하게 관측하였으나 갑작스런 죽음으로, 그의 관측 자료는 케플러에게 넘어가게 되었다. 브라헤의 관측 자료를 연구한 케플러는 결국 행성의 궤도가 원이라는 생각을 버릴 수 있었다.

1609년 케플러는 마침내 ‘신천문학’이라는 책을 통해 행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 그리며 공전한다는 타원 궤도의 법칙(케플러 제1법칙)과 태양과 행성을 잇는 직선이 단위 시간 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 항상 일정하다는 면적 속도 일정의 법칙(케플러 제2법칙)을 발표하였다. 그 후, 1619년 케플러는 행성 공전 주기의 제곱은 공전 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다는 조화의 법칙(케플러 제3법칙)을 발표하였다. 케플러의 법칙은 관측 자료의 분석을 통하여 얻어진 경험적인 법칙으로, 비록 행성 운동의 규칙성이 나타나게 되는 원인을 명쾌히 설명하지는 못하였지만 뉴턴의 만유인력 법칙을 이끌어내는 데 중요한 역할을 하였다.

질량을 가진 모든 물체 사이에는 항상 서로 끌어당기는 힘이 작용하는데 이를 만유인력이라 한다. 두 물체 사이에 작용하는 만유인력 F는 두 물체의 질량 $\displaystyle M,m$에 비례하고 두 물체 사이의 거리 r의 제곱에 반비례한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle F=\frac{GMm}{r^2}$　(G: 만유인력 상수)

위의 식에서 내부가 균일한 구형(球形) 물체가 외부 물체에 작용하는 만유인력은 구형 물체의 모든 질량이 구의 중심점에 모여 있다고 가정하고 계산할 수 있다.

(마) 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 원뿔곡선(원추곡선)이라 하며, 이들 곡선은 모두 $\displaystyle x,y$에 대한 이차방정식으로 표현되므로 이차곡선이라고도 한다. 원뿔곡선을 처음으로 엄밀하게 정의한 그리스의 수학자 메나이크모스는 직원뿔을 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면을 생각하여, 직원뿔의 꼭지각이 각각 예각, 직각, 둔각일 때에 따라 단면에 나타나는 곡선이 각각 타원, 포물선, 쌍곡선이 된다는 사실을 발견하였다. 원뿔곡선의 식은 다음 그림에서 정의한 $\displaystyle r$과 $\displaystyle \theta$를 사용하여 $\displaystyle \frac ar=1+b\cos\theta$로 표현할 수 있다. 단, 여기서 $\displaystyle a$는 양의 실수, $\displaystyle b$는 음이 아닌 실수이다.