자연계열 3번

[문제 3-1]

$\displaystyle \frac a{\sqrt{x^2+y^2}}=1+b\frac xr=1+b\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\displaystyle \begin{aligned}a-\sqrt{x^2+y^2}&=bx\\(a-bx)^2&=x^2+y^2\\a^2-2abx+b^2x^2&=x^2+y^2\\(1-b^2)x^2+2abx+y^2&=a^2\end{aligned}$

또는

$\displaystyle \frac{\left(x+\frac{ab}{1-b^2}\right)^2}{\frac{a^2}{(1-b^2)^2}}+\frac{y^2}{\frac{a^2}{1-b^2}}=1$

[문제 3-2]

제시문에서 주어진 식을 변형하면 다음과 같으며

$\displaystyle r=\frac a{1+b\cos\theta}\quad(0<b<1)$

[ii] 이를 $\displaystyle f(\theta)$라 하자. 일차미분을 이용하여 $\displaystyle r=f(\theta)$의 최댓값(최대거리)과 $\displaystyle r=f(\theta)$의 최솟값(최소거리)을 다음과 같이 구할 수도 있다.

$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac{ab\sin\theta}{(1+b\cos\theta)^2}=0$

$\displaystyle \theta=0$에서 최대값 $\displaystyle \frac a{1-b}$, $\displaystyle \theta=\pi$에서 최소값 $\displaystyle \frac a{1+b}$Correction. 미분을 이용한 풀이에서 최댓값과 최솟값에 대응하는 $\displaystyle \theta$가 서로 바뀌어 적혀 있다.$\displaystyle \theta=0:\quad r=\frac a{1+b}\quad\text{(최소)},\qquad\theta=\pi:\quad r=\frac a{1-b}\quad\text{(최대)}.$ 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 최대거리와 최소거리의 비율은 $\displaystyle \frac{1+b}{1-b}$이다.